ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Αν για την συνεχή συνάρτηση f: \rr \to \rr, ισχύει ότι:

    \[x\cdot f(x) \leq x^{2}+4x+\hm x, \quad x \in \rr,\]

να βρεθεί η τιμή του f(0).

Λύση
Αφού απο υπόθεση η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της A_{f}=\rr, τότε θα είναι και συνεχής συνάρτηση στο x_{0}=0.
Οπότε από τον ορισμό της συνέχειας συνάρτησης στο x_{0} =0 \in A_{f}, έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to 0}f(x) = f(0). \quad (1.)\]

Επιπλέον από υπόθεση έχουμε ότι για κάθε x \in \rr, ισχύει ότι

    \[x\cdot f(x) \leq x^{2}+4x+\hm x.\]

Οπότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις

περ.1.

Αν x < 0, τότε

    \begin{align*} &x\cdot f(x) \leq x^{2}+4x+\hm x \Leftrightarrow\\\\ & f(x) \geq \dfrac{x^{2}+4x+\hm x}{x} \Leftrightarrow\\\\ & f(x) \geq \dfrac{x^{2}}{x}+\dfrac{4x}{x}+\dfrac{\hm x}{x} \Leftrightarrow\\\\ & f(x) \geq x+4+\dfrac{\hm x}{x}.  \end{align*}

Αφού x < 0, τότε

    \begin{align*} & \lim_{x\to 0^{-}}f(x) \geq \lim_{x\to 0^{-}}\Big(x+4+\dfrac{\hm x}{x}\Big)\Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x\to 0^{-}}f(x) \geq 0 +4 +1 \Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x\to 0^{-}}f(x) \geq 5. \quad (2.) \end{align*}

περ.2.

Αν x > 0, τότε

    \begin{align*} &x\cdot f(x) \leq x^{2}+4x+\hm x \Leftrightarrow\\\\ & f(x) \leq \dfrac{x^{2}+4x+\hm x}{x} \Leftrightarrow\\\\ & f(x) \leq\dfrac{x^{2}}{x}+\dfrac{4x}{x}+\dfrac{\hm x}{x} \Leftrightarrow\\\\ & f(x) \leq x+4+\dfrac{\hm x}{x}.  \end{align*}

Αφού x >0, τότε

    \begin{align*} & \lim_{x\to 0^{+}}f(x) \leq\lim_{x\to 0^{-}}\Big(x+4+\dfrac{\hm x}{x}\Big)\Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x\to 0^{+}}f(x) \leq 0 +4 +1 \Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x\to 0^{+}}f(x) \leq 5. \quad (3.) \end{align*}

Αφου απο υπόθεση η συνάρτηση f, είναι συνεχής συνάρτηση στο x_{0} = 0 \in A_{f} = \rr, ισχύει ότι:

    \[\lim_{x\to 0}f(x) = f(0),\]

ή αλλίως το όριο \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x), υπάρχει και απο κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}f(x).\]

Οπότε από (2.) και (3.) προκύπτει ότι:

    \[\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=5,\]

άρα και \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=5

και απο σχέση (1.) έχουμε \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = f(0) άρα και f(0)=5.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *