ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Αν για την συνάρτηση, f:\rr \to \rr, ισχύει ότι:

    \[x-2x^{2}\leq f(x) \leq 5x^{2} +x, \,\, x\in \rr,\]

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0} =0.

Λύση
Από υπόθεση για κάθε x \in \rr, ισχύει ότι

    \[x-2x^{2}\leq f(x) \leq 5x^{2} +x,\]

άρα θα ισχύει και για x = 0,

δηλαδή:

    \begin{align*} & x-2x^{2}\leq f(x) \leq 5x^{2} +x \overset{x= 0} {\Rightarrow}\\\\ & 0-2\cdot 0^{2} \leq f(0) \leq 5\cdot 0^{2} + 0 \Rightarrow\\\\ & 0\leq  f(0) \leq 0 \Rightarrow\\\\ &f( 0) = 0. \quad (1.)  \end{align*}

Επισης απο την υπόθεση

    \[x-2x^{2}\leq f(x) \leq 5x^{2} +x, \,\, x\in \rr,\]

έχουμε ότι

\displaystyle\lim_{x\to 0} (x-2x^{2}) = 0 και \displaystyle\lim_{x\to 0} (5x^{2} +x) = 0.

Άρα απο κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι

    \[\lim_{x \to 0} f(x) =0. \quad (2.)\]

Συνεπώς απο τις σχέσεις (1.) και (2.) έχουμε ότι

    \[\lim_{x \to 0} f(x)=f(0),\]

δηλαδή ικανοποιείται ο ορισμός της συνέχειας συνάρτησης στο x_{0} = 0 \in A_{f} = \rr,
άρα η συναρτηση f στο x_{0} = 0.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *