ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Αν για την συνάρτηση f, ισχύει, για κάθε x,  y \in (0,+\infty)

    \[f(x\cdot y) = f(x)+ f(y)\]

Να δείξετε ότι
i) Αν η f είναι συνεχής στο x_{0} =1, τότε είναι συνεχής στο (0, +\infty)
ii) Αν η f είναι συνεχής για κάθε \alpha \in (0,+\infty) και \alpha \neq 1
τότε η f είναι συνεχής σε όλο το διάστημα (0 , +\infty).

Λύση
i) Αφού απο υπόθεση η f, είναι συνεχής συνάρτηση στο x_{0} = 1 τότε θα ισχύει:

    \[\lim_{x \to 1} f(x)= f(1). \quad (1.)\]

Επισης, αφου απο υπόθεση για κάθε x,  y \in (0,+\infty), ισχύει

    \[f(x\cdot y) = f(x)+ f(y),\]

Τότε θα ισχύει και για x= y = 1, δηλαδή

    \begin{align*} &f(x\cdot y) = f(x)+ f(y)\Rightarrow \\ &f(1\cdot 1) = f(1)+ f(1)\Rightarrow \\ &f(1) =2\cdot f(1)\Rightarrow \\ &f(1)  = 0. \quad (2.) \end{align*}

Άρα

    \[(1.)\overset{(2.)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 1}f(x) = 0. \quad (3.)\]

Επίσης, για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση σε όλο το διάστημα (0,+\infty) θα πρέπει να ισχύει για κάθε x_{0} \in (0, +\infty) ότι

    \[\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).\]

Για τον υπολογισμό του ορίου \displaystyle\lim_{x \to x_{0}}f(x)
θέτουμε x = x_{0}\cdot t, οπότε αφού x \to x_{0} τότε x_{0} \cdot t \to x_{0} ή αλλίως t \to 1 οπότε

    \begin{align*}   \lim_{x\to x_{0}}f(x)= &\lim_{t \to 1} f(x_{0}\cdot t) \\\\                        = & \lim_{t \to 1}\Big( f(x_{0}) + f(t) \Big)  \\\\                        = &  \lim_{t \to 1}f(x_{0}) +\lim_{t \to 1} f(t) \\\\                        = & f(x_{0}) + 0 \\\\                        = & f(x_{0}). \end{align*}

Άρα για κάθε x_{0} \in (0, +\infty) ισχύει ότι

    \[\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).\]

δηλαδή η f, είναι συνεχή συνάρτηση στο (0,+\infty).

ii) Από το προηγούμενο ερώτημα μπορούμε να πούμε οτι για να είναι f συνεχή συνάρτηση στο (\alpha , +\infty), αρκεί να δείξουμε ότι η f, είναι συνεχής συνάρτηση στο x_{0} =1.
Επιπλέον απο υπόθεση έχουμε ότι η f, είναι συνεχής συνάρτηση στο \alpha με 0<\alpha \neq 1.
Άρα ισχύει ότι

    \[\lim_{x \to \alpha} f(x) = f(\alpha)\]

Για το παραπάνω όριο θέτουμε x = \alpha \cdot t και αφού x \to \alpha τότε \alpha \cdot t \to \alpha, δηλαδή t \to 1 οπότε:

    \begin{align*} &\lim_{x \to \alpha} f(x) = f(\alpha) \Rightarrow \\\\ &\lim_{t \to 1} f(\alpha \cdot t)= f(\alpha) \Rightarrow \\\\ &\lim_{t \to 1}\Big( f(\alpha) + f(t)\Big) = f(\alpha) \Rightarrow \\\\ & f(\alpha) +\lim_{t \to 1}f(t) = f(\alpha) \Rightarrow \\\\ &\lim_{t \to 1}f(t)= 0\overset{(2.)}{\Rightarrow}\\\\ &\lim_{t \to 1}f(t) = f(1). \end{align*}

Συνεπώς η f, απο το ερώτημα i), είναι συνεχής συνάρτηση σε όλο το διάστημα (0,+\infty)

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *