ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha \in \rr, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}},$ & $x>2$ \\\\                         $ \alpha x^{2}-5x +4\alpha, $ &   $ x\leq 2$  		\end{tabular} 	\right. \]


Λύση
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή A_{f} = \rr.

Από υπόθεση έχουμε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, A_{f} = \rr, άρα θα είναι συνεχής και στο x_{0} =2,
οπότε απο τον ορισμό της συνέχειας, συνάρτησης, στο x_{0}  = 2, θα ισχύει ότι:

    \[\lim_{x\to 2} f(x) =f(2). \quad (1.)\]

Για τον υπολογισμό του ορίου, της συνάρτησης f στο x_{0} =2, στο οποίο έχουμε αλλαγή τύπου, θα πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης.

Συνεπώς
για x< 2 ισχύει f(x) = \alpha x^{2}-5x +4\alpha, οπότε:

    \begin{align*} \lim_{x\to 2^{-}} f(x) = &  \lim_{x\to 2^{-}}( \alpha x^{2}-5x +4\alpha) \\                          = & \,\, \alpha \cdot 2^{2}-5\cdot 2+4\alpha \\                         = &  \,\, 4 \alpha -10 + 4\alpha    \\                         = & \,\, 8 \alpha -10. \quad (2.)                   \end{align*}

για x>2 ισχύει f(x) = \dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}}, οπότε:

    \begin{align*} \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}} \overset{\frac{0}{0}}{=}\\\\                      & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5x -10}{(x+1)-\sqrt{x+7}} = \\\\  & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{\bigg((x+1)-\sqrt{x+7}\bigg)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+7}^{2}} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x^{2}+2x +1-(x+7)} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x^{2}+2x +1-x-7} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x^{2}+x -6} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{(x+3)\cdot(x-2)} = \\\\ \end{align*}

    \[\quad \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5\cdot(x -2)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{(x+3)\cdot(x-2)} =\]

    \[\quad \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x+3} =\]

    \[\quad \dfrac{5\cdot \bigg((2+1)+\sqrt{2+7}\bigg)}{2+3} =\]

    \[\quad \dfrac{5\cdot \bigg(3+3\bigg)}{5} = 6\]

Αρά \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x) = 6. \quad (3.)

Επίσης f(2) = \alpha \cdot 2^{2}-5\cdot 2+4\alpha  \Leftrightarrow  f(2) = 8 \alpha -10.  \quad (3.)

Απο κριτήριο πλευρικών ορίων και απο τις σχέσεις (1.), (2.), (3.), έχουμε ότι για να είναι συνεχής, η συνάρτηση f,
θα πρέπει:

    \[8 \alpha -10 =6 \Leftrightarrow 8\alpha = 16 \Leftrightarrow \alpha = 2.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *