ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα
Έστω η συνεχής συνάρτηση f: \rr \to \rr, για την οποία ισχύει:

    \[\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)\cdot f(x) +x^{2}-1}{\sqrt{x}-1} =12.\]

Να βρεθεί η τιμή f(1).

Λύση

Απο υπόθεση έχουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της A_{f} = \rr.

Οπότε θα ισχύει:

    \[\lim_{x \to 1}f(x) = f(1). \quad (1.)\]

Για το υπολογισμό του ορίου της f στο x_{0}=1, θέτουμε

    \[\dfrac{(x-1)\cdot f(x) +x^{2}-1}{\sqrt{x}-1} = g(x)\]

Οπότε από υπόθεση θα ισχύει:

    \[\lim_{x \to 1} g(x) = 12.\]

Επιπλέον έχουμε:

    \begin{align*} &\dfrac{(x-1)\cdot f(x) +x^{2}-1}{\sqrt{x}-1} = g(x) \Leftrightarrow\\\\ &(x-1)\cdot f(x) +x^{2}-1 = (\sqrt{x}-1)\cdot g(x) \Leftrightarrow\\\\ &(x-1)\cdot f(x)  = (\sqrt{x}-1)\cdot g(x)-x^{2}+1 \Leftrightarrow\\\\ &(x-1)\cdot f(x)  = (\sqrt{x}-1)\cdot g(x)-(x^{2}-1) \Leftrightarrow\\\\ &f(x)  = \dfrac{(\sqrt{x}-1)\cdot g(x)-(x^{2}-1)}{x-1}  \end{align*}

Άρα για το όριο της f(x) έχουμε:

    \begin{align*} \lim_{x \to 1}f(x) = & \lim_{x \to 1}\dfrac{(\sqrt{x}-1)\cdot g(x)-(x^{2}-1)}{x-1} \overset{\frac{0}{0}}{=}\\\\ & \lim_{x \to 1}\Bigg[\dfrac{(\sqrt{x}-1)\cdot g(x)}{x-1}-\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\Bigg]=\\\\ \end{align*}

    \[\lim_{x \to 1}\Bigg[\dfrac{(\sqrt{x}+1)\cdot(\sqrt{x}-1)\cdot g(x)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(x-1)}-\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)}{x-1}\Bigg]=\]

    \[\lim_{x \to 1}\Bigg[\dfrac{(\sqrt{x}^{2}-1^{2})\cdot g(x)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(x-1)}-\dfrac{(x+1)}{1}\Bigg]=\]

    \[\lim_{x \to 1}\Bigg[\dfrac{(x-1)\cdot g(x)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(x-1)}-(x+1)\Bigg]=\]

    \[\lim_{x \to 1}\Bigg[\dfrac{(x-1)\cdot g(x)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(x-1)}-(x+1)\Bigg]=\]

    \[\lim_{x \to 1}\Bigg[\dfrac{ g(x)}{\sqrt{x}+1}-(x+1)\Bigg].\]

Επειδή ισχύει:

    \[\lim_{x \to 1} g(x) = 12,\]

έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 1}\Bigg[\dfrac{ g(x)}{\sqrt{x}+1}-(x+1)\Bigg]=\\\\ & \quad \quad \dfrac{ 12}{\sqrt{1}+1}-(1+1) =\\\\ & \quad \quad \dfrac{12}{2}-2=6-2=4. \end{align*}

Άρα \displaystyle \lim_{x \to 1}f(x) =4,
και απο τη σχέση (1.) έχουμε ότι f(1) =4.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Ένα σχόλιο στο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *