ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Δίνονται 3 μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και τα διανύσματα

    \[\overrightarrow{\Gamma\Delta}=\overrightarrow{BA} \ \text{και} \ \overrightarrow{B \Epsilon}=\overrightarrow{A\Gamma},\]

να αποδείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο του \Delta\Epsilon.

Λύση
meth1

Είναι \overrightarrow{\Gamma \Delta}=\overrightarrow{BA}
Επειδή \overrightarrow{B \Epsilon}=\overrightarrow{A\Gamma}\Longleftrightarrow \Beta\Alpha\Gamma\Epsilon \ \text{παραλληλόγραμμο}\Longleftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{Ε\Gamma}

Άρα \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{Ε\Gamma}=\overrightarrow{\Gamma \Delta} οπότε Γ μέσο του ΔΕ.

Παράδειγμα.2.
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα διανύσματα

    \[\overrightarrow{\grD E}=\overrightarrow{A\grG} \ \text{και} \ \overrightarrow{\grD Z}=\overrightarrow{B\grG}.\]

να αποδείξετε ότι: \overrightarrow{ΖΕ}=\overrightarrow{AΒ}

Λύση
meth11

Επειδή το \Alpha\Beta\Gamma\Deltaείναι παραλληλόγραμμο έχουμε ότι:

    \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\grD \grG} \quad \text{και} \quad \overrightarrow{A\grD}=\overrightarrow{B \grG}\]

Επειδή \overrightarrow{A\grG}=\overrightarrow{\grD E} το \Alpha\Gamma\Epsilon\Delta είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και \overrightarrow{A\grD}=\overrightarrow{\grG E}.
Από την υπόθεση έχουμε ότι: \overrightarrow{\grD Z}=\overrightarrow{B\grG}
Άρα: \overrightarrow{\grD Z}=\overrightarrow{\grG Ε}\Longleftrightarrow \grD \grG E Z \text{παραλληλόγραμμο} \Longleftrightarrow \overrightarrow{ZE}=\overrightarrow{\grD \grG}=\overrightarrow{AB}.

Παράδειγμα.3.

Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με:

    \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\gra},  \overrightarrow{B\grG}=\overrightarrow{\grb},  \overrightarrow{\grG \grd}=\overrightarrow{\grg}\]

και

    \[\overrightarrow{\grD A}=\overrightarrow{\grd}.\]

Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν:

    \[\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grg}=\overrightarrow{0} \quad  \text{και} \quad \overrightarrow{\grb}+\overrightarrow{\grd}=\overrightarrow{0}.\]

Λύση
ask4
Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο τοτε:

    \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\grD \grG}\Longleftrightarrow \overrightarrow{\gra}=-\overrightarrow{\grg}\Longleftrightarrow \overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grg}=\overrightarrow{0}\]

και

    \[\overrightarrow{B\grG}=\overrightarrow{A\grD}\Longleftrightarrow \overrightarrow{\grb}+\overrightarrow{\grd}=\overrightarrow{0}\]

Αν \overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grg}=\overrightarrow{0} \quad \text{και} \quad \overrightarrow{\grb}+\overrightarrow{\grd}=\overrightarrow{0}
τότε:

    \begin{eqnarray*}  \overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grg}=\overrightarrow{0} &\Longleftrightarrow & \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\grG \grD}=\overrightarrow{0}\\ &\Longleftrightarrow & \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{\grG \grD} \\ &\Longleftrightarrow & \overrightarrow{AB}\nearrow\swarrow\overrightarrow{\grG \grD} \ (1)  \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}  \overrightarrow{\grb}+\overrightarrow{\grd}=\overrightarrow{0} &\Longleftrightarrow & \overrightarrow{B\grG}+\overrightarrow{\grD A}=\overrightarrow{0}\\ &\Longleftrightarrow & \overrightarrow{B\grG}=-\overrightarrow{\grD A} \\ &\Longleftrightarrow & \overrightarrow{B\grG}\nearrow\swarrow\overrightarrow{\grD A} \ (2)  \end{eqnarray*}

Από (1), και (2) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Επιμέλεια: Γ. Αποστόλου Μαθηματικός. www.apgm.gr
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *