* Μια συνάρτση την λέμε συνεχή στο του πεδίου ορισμού της, όταν
*Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής συνάρτηση, όταν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της.
Παράδειγμα.1
Δίνεται η συνάρτηση
Να εξετάσετε άν η συνάρτηση είναι συνεχής στο
Λύση
Εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή
Από τον ορισμό της συνέχειας συνάρτησης στο για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο θα πρέπει να ισχύει:
Το είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της , οπότε για να βρούμε αν υπάρχει το θα πάρουμε πλευρικά ορια.
Για έχουμε οπότε:
Για έχουμε οπότε:
Παρατηρούμε ότι
Άρα από κριτήριο πλευρικών ορίων το όριο
Για έχουμε οπότε:
Τελικά ισχύει ότι
οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής συνάρτηση στο
Παράδειγμα.2.
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση
Είναι συνεχής στο
Λύση
Η παραπάνω συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού
Για να είναι η συνεχής συνάρτηση στο θα πρέπει να ισχύει:
Συνεπώς, για την συνάρτηση έχουμε ότι:
Επίσης,
για τότε οπότε
Επίσης,
για τότε οπότε
Άρα απο κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι
Επίσης έχουμε ότι:
Τέλος επειδή
Η συνάρτηση δεν είναι συνεχής συνάρτηση στο
Παράδειγμα.3.
Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση
Λύση
Η παραπάνω συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών δηλαδή
Έχουμε ότι για κάθε είναι
Η οποία είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Επειδή στο η συνάρτηση αλλάζει κλάδο εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης με τη χρήση του ορισμού δηλαδή θα εξετάσουμε εάν ισχύει:
Έχουμε
για τον υπολογισμό του τριγωνομετρικού ορίου στο μηδέν θέτουμε οπότε
Επιπλέον αφού τότε και δηλαδή
Συνεπώς
δηλαδή
επιλέον έχουμε
οπότε
Συνεπώς η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο αλλα έιναι συνεχής συνάρτηση για κάθε
Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .
4 απαντήσεις στο “ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ”