ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

* Μια συνάρτση f την λέμε συνεχή στο x_{0} του πεδίου ορισμού της, όταν

    \[\lim_{x \to x_{0}}f(x) = f(x_{0}.)\]

*Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής συνάρτηση, όταν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της.

Παράδειγμα.1
Δίνεται η συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{x^2-9}{x+3}, \, x<-3$ \\\\ 			$3x+3, \, x\geq -3$  		\end{tabular} 	\right. \]

Να εξετάσετε άν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0} = -3.
Λύση

Εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή A_{f}=\rr.
Από τον ορισμό της συνέχειας συνάρτησης στο x_{0} \in A_{f} για να είναι η συνάρτηση f συνεχής στο x_{0} =-3, θα πρέπει να ισχύει:

    \[\lim_{x \to -3}f(x) =f(-3).\]

Το x_o=-3 είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της f, οπότε για να βρούμε αν υπάρχει το \displaystyle\lim_{x \to -3}f(x) θα πάρουμε πλευρικά ορια.
Για x <-3 έχουμε f(x)= \dfrac{x^2-9}{x+3}, οπότε:

    \begin{align*} \displaystyle\lim_{x \to -3^{-}}f(x)  =  &\lim_{x \to -3^{-}}\dfrac{x^2-9}{x+3}\stackrel{\frac{0}{0}}{=}\\\\                                       =  & \lim_{x\to -3^{-}}\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}=\\\\                                       = &  \lim_{x \to -3^{-}}(x-3) =  -6 \end{align*}

Για x >-3, έχουμεf(x)= 3x+3, οπότε:

    \begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to -3^{+}}f(x) = \lim_{x \to -3^{+}}& (3x+3)= \\                                       &3\cdot(-3)+3 =\\                                       &-9+3 =  -6 \end{align*}

Παρατηρούμε ότι \displaystyle\lim_{x \to -3^{-}}f(x) = \lim_{x \to -3^{+}}f(x) =-6
Άρα από κριτήριο πλευρικών ορίων το όριο \displaystyle\lim_{x \to -3}f(x) =-6.

Για x =-3, έχουμε f(x)= 3x+3, οπότε:

    \[f(-3) =-6.\]

Τελικά ισχύει ότι

    \[\lim_{x \to -3}f(x) =f(-3),\]

οπότε η συνάρτηση f είναι συνεχής συνάρτηση στο x_{0} = -3.

Παράδειγμα.2.
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$3x^{2}-4x,$ & $x<2$ \\\\                         $ \quad 7,$        &  $ x=2$ \\\\ 			$5x-6,$ &   $ x> 2$  		\end{tabular} 	\right. \]

Είναι συνεχής στο x_{0} =2.
Λύση
Η παραπάνω συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A_{f} =\rr.
Για να είναι η f συνεχής συνάρτηση στο x_{0} = 2 \in A_{f} =\rr, θα πρέπει να ισχύει:

    \[\lim_{x \to 2} f(x)=  f(2).\]

Συνεπώς, για την συνάρτηση f έχουμε ότι:

Επίσης,
για x<2 τότε f(x) =3x^{2}-4x οπότε

    \[\lim_{x\to 2^{-}}f(x) =\lim_{x\to 2^{-}}(3x^{2}-4x)= 12-8 =4.\]

Επίσης,
για x> 2 τότε f(x) =5x-6 οπότε

    \[\lim_{x\to 2^{+}}f(x) =\lim_{x\to 2^{+}}(5x-6) =10-6 =4.\]

Άρα απο κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι

    \[\lim_{x \to 2} f(x) =4.\]

Επίσης έχουμε ότι:

    \[f(2) = 7.\]

Τέλος επειδή

    \[\lim_{x \to 2} f(x)\neq f(2)\]

Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής συνάρτηση στο x_{0} =2.

Παράδειγμα.3.
Να εξετάσετε ως προς ρη συνέχεια τη συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{\hm 3x}{x},$ & $x\neq 0$ \\\\                         $ \quad 1,$        &  $ x=0$ \\\\ 		\end{tabular} 	\right. \]

Λύση
Η παραπάνω συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών δηλαδή

    \[A_{f} =\rr.\]

Έχουμε ότι για κάθε x\in (-\infty, 0)\cup (0,+\infty) είναι

    \[f(x) = \dfrac{\hm 3x}{x},\]

Η οποία είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Επειδή στο x_{0} = 0 η συνάρτηση f αλλάζει κλάδο εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης με τη χρήση του ορισμού δηλαδή θα εξετάσουμε εάν ισχύει:

    \[\lim_{x \to 0} f(x) = f(0).\]

Έχουμε \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) =\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\hm 3x}{x}

για τον υπολογισμό του τριγωνομετρικού ορίου στο μηδέν θέτουμε 3x =u οπότε x = \dfrac{u}{3}.
Επιπλέον αφού x \to 0 τότε και \dfrac{u}{3} \to 0 δηλαδή u \to 0.
Συνεπώς

    \begin{align*} \lim_{x \to 0}\dfrac{\hm 3x}{x}= & \lim_{u \to 0}\dfrac{\hm u}{\frac{u}{3}}=\\\\ & \lim_{u \to 0}3\cdot\dfrac{\hm u}{u}=\\ &\quad \quad 3\cdot1 = 3. \end{align*}

δηλαδή

    \[\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=3\]

επιλέον έχουμε f(0) =1
οπότε

    \[\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0).\]

Συνεπώς η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο x_{0} = 0 αλλα έιναι συνεχής συνάρτηση για κάθε x\in (-\infty, 0)\cup (0,+\infty).

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *