ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha,\beta \in \rr, ώστε να υπάρχει το όριο στο άπειρο και να ισχύει:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.\]

Λύση
Σκεπτικό: Επειδή το x^{2} είναι η μεγαλύτερη δύναμη του x ξεκινάμε με την υπόθεση οτι ο συντελεστής του x^{2}, είναι διάφορος του μηδενός.

Έστω ότι

    \[\alpha -2 \neq 0 \Leftrightarrow \alpha \neq 2.\]

Για τον παρονομαστή (\beta +3)\cdot x-13

Διακρίνουμε τις εξης περιπτώσεις:
Περίπτωση.1. \beta +3 \neq 0\Leftrightarrow \beta \neq -3.
Τότε

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}}{(\beta +3)\cdot x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x}{(\beta +3)}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)}{(\beta +3)}\cdot x=\infty. \end{align*}

Δηλαδή αν το πρόσημο του \dfrac{(\alpha -2)}{(\beta +3)} ειναι θετικό το παραπάνω όριο είναι +\infty, ενώ αν είναι αρνητικό το όριο είναι -\infty.
Περίπτωση.2. \beta +3 =0 \Leftrightarrow \beta = -3
Τότε

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}}{-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)}{-13}\cdot x^{2}=\infty. \end{align*}

Ομοίως το πρόσημο του απείρου εξαρτάται από το πρόσημο του \dfrac{(\alpha -2)}{-13}.
Από τα παραπάνω, συμπεραίνουμε οτι για \alpha \neq 2 και για κάθε \beta \in \rr, έχουμε ότι το αρχικό όριο είναι +\infty ή -\infty, πράγμα άτοπο, αφού από υπόθεση, ισχύει

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.\]

Άρα το \alpha = 2.

Έτσι έχουμε

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(2 -2)\cdot x^{2}+(3\cdot 2 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x^{2}+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ \end{align*}

Για το όριο στο άπειρο της ρητής συνάρτησης

    \[f(x)=\displaystyle\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}\]

πρέπει να γνωρίζουμε ποίος είναι ο μεγιστοβάθμιος όρος του αριθμητή και του παρονομάστή οπότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Περίπτωση.1.
Αν 6-2\beta =0\Leftrightarrow -2\beta = -6\Leftrightarrow \beta = 3.
Τότε για \alpha =2 και \beta =3 έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(2 -2)\cdot x^{2}+(3\cdot 2 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x^{2}+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\cdot 3)\cdot x+ 7}{(3 +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 - 6)\cdot x+ 7}{(3 +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x+ 7}{6\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0+ 7}{6\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{7}{6\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{7}{6\cdot x}=0. \end{align*}

Άτοπο αφού από υπόθεση \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.
Περίπτωση.2.
Αν \beta+3 =0\Leftrightarrow \beta = -3.
Τότε για \alpha =2 και \beta =-3 έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(2 -2)\cdot x^{2}+\big(3\cdot 2 -2\cdot(-3)\big)\cdot x+ 7}{(-3 +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x^{2}+(6 +6)\cdot x+ 7}{0\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0+12\cdot x+ 7}{0-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{12\cdot x+ 7}{-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{12\cdot x}{-13}=-\infty. \end{align*}

Άτοπο αφού από υπόθεση \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.

Περίπτωση.3.
Αν \beta \neq \pm 3 και \alpha =2, τότε απο υπόθεση έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(2 -2)\cdot x^{2}+(3\cdot 2 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x^{2}+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x}{(\beta +3)\cdot x}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta) }{(\beta +3)}=4\\\\ &\dfrac{6 -2\beta }{\beta +3}=4\\\\ & 6 -2 \cdot \beta =(\beta + 3 ) \cdot 4 \\\\ & 6 -2 \cdot \beta =4\beta +12 \\\\ &-6\beta =6\\ &\beta =-1. \end{align*}

Τελικά οι ζητούμενες τιμές είναι \alpha =2 και \beta -1.

Παράδειγμα.2.
‘Εστω η συνάρτηση f:(0,+\infty)\to \rr για την οποία ισχύουν:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=5 \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty} \big(f(x)-5x)=2.\]

Να βρεθεί το \lambda \in \rr, ώστε

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{3f(x)+\lambda x -2}{xf(x)-5x^{2}+1}=3.\]



Λύση

Έχουμε

    \begin{align*} & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3f(x)+\lambda x -2}{xf(x)-5x^{2}+1}=3\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\cdot\big(3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda  -\dfrac{2}{x}\big)}{x\cdot \big(f(x)-5x+\dfrac{1}{x}\big)}=3\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda  -\dfrac{2}{x}}{f(x)-5x+\dfrac{1}{x}}=3\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda  -2\cdot\dfrac{1}{x}}{\big(f(x)-5x\big)+\dfrac{1}{x}}=3 \end{align*}

Επειδή \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0, και από υπόθεση

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=5 \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty} \big(f(x)-5x)=2,\]

έχουμε:

    \begin{align*} & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda  -2\cdot\dfrac{1}{x}}{\big(f(x)-5x\big)+\dfrac{1}{x}}=3\\\\ & \dfrac{3\cdot 5+\lambda  -2\cdot 0}{2+0}=3\\\\ & \dfrac{15+\lambda  }{2}=3\\\\ &15 +\lambda =2\cdot 3\\ &\lambda =6-15\\ &\lambda =-9. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *