ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου $\alpha,\beta \in \rr,$ ώστε να υπάρχει το όριο στο άπειρο και να ισχύει:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.$

Λύση
Σκεπτικό: Επειδή το $x^{2}$ είναι η μεγαλύτερη δύναμη του $x$ ξεκινάμε με την υπόθεση οτι ο συντελεστής του $x^{2},$ είναι διάφορος του μηδενός.

Έστω ότι

$\alpha -2 \neq 0 \Leftrightarrow \alpha \neq 2.$

Για τον παρονομαστή $(\beta +3)\cdot x-13$

Διακρίνουμε τις εξης περιπτώσεις:
Περίπτωση.1. $\beta +3 \neq 0\Leftrightarrow \beta \neq -3.$
Τότε

$\begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}}{(\beta +3)\cdot x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x}{(\beta +3)}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)}{(\beta +3)}\cdot x=\infty. \end{align*}$

Δηλαδή αν το πρόσημο του $\dfrac{(\alpha -2)}{(\beta +3)}$ ειναι θετικό το παραπάνω όριο είναι $+\infty,$ ενώ αν είναι αρνητικό το όριο είναι $-\infty.$
Περίπτωση.2. $\beta +3 =0 \Leftrightarrow \beta = -3$
Τότε

$\begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}}{-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)}{-13}\cdot x^{2}=\infty. \end{align*}$

Ομοίως το πρόσημο του απείρου εξαρτάται από το πρόσημο του $\dfrac{(\alpha -2)}{-13}.$
Από τα παραπάνω, συμπεραίνουμε οτι για $\alpha \neq 2$ και για κάθε $\beta \in \rr,$ έχουμε ότι το αρχικό όριο είναι $+\infty$ ή $-\infty,$ πράγμα άτοπο, αφού από υπόθεση, ισχύει

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.$

Άρα το $\alpha = 2.$

Έτσι έχουμε

$\begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(2 -2)\cdot x^{2}+(3\cdot 2 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x^{2}+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ \end{align*}$

Για το όριο στο άπειρο της ρητής συνάρτησης

$f(x)=\displaystyle\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}$

πρέπει να γνωρίζουμε ποίος είναι ο μεγιστοβάθμιος όρος του αριθμητή και του παρονομάστή οπότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Περίπτωση.1.
Αν $6-2\beta =0\Leftrightarrow -2\beta = -6\Leftrightarrow \beta = 3.$
Τότε για $\alpha =2$ και $\beta =3$ έχουμε:

$\begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(2 -2)\cdot x^{2}+(3\cdot 2 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x^{2}+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\cdot 3)\cdot x+ 7}{(3 +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 - 6)\cdot x+ 7}{(3 +3)\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x+ 7}{6\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0+ 7}{6\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{7}{6\cdot x-13}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{7}{6\cdot x}=0. \end{align*}$

Άτοπο αφού από υπόθεση $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.$
Περίπτωση.2.
Αν $\beta+3 =0\Leftrightarrow \beta = -3.$
Τότε για $\alpha =2$ και $\beta =-3$ έχουμε:

Άτοπο αφού από υπόθεση $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.$

Περίπτωση.3.
Αν $\beta \neq \pm 3$ και $\alpha =2,$ τότε απο υπόθεση έχουμε:

$\begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(2 -2)\cdot x^{2}+(3\cdot 2 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{0\cdot x^{2}+(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta)\cdot x}{(\beta +3)\cdot x}=4\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(6 -2\beta) }{(\beta +3)}=4\\\\ &\dfrac{6 -2\beta }{\beta +3}=4\\\\ & 6 -2 \cdot \beta =(\beta + 3 ) \cdot 4 \\\\ & 6 -2 \cdot \beta =4\beta +12 \\\\ &-6\beta =6\\ &\beta =-1. \end{align*}$

Τελικά οι ζητούμενες τιμές είναι $\alpha =2$ και $\beta -1.$

Παράδειγμα.2.
‘Εστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to \rr$ για την οποία ισχύουν:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=5 \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty} \big(f(x)-5x)=2.$

Να βρεθεί το $\lambda \in \rr,$ ώστε

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{3f(x)+\lambda x -2}{xf(x)-5x^{2}+1}=3.$

Λύση

Έχουμε

$\begin{align*} & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3f(x)+\lambda x -2}{xf(x)-5x^{2}+1}=3\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\cdot\big(3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda -\dfrac{2}{x}\big)}{x\cdot \big(f(x)-5x+\dfrac{1}{x}\big)}=3\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda -\dfrac{2}{x}}{f(x)-5x+\dfrac{1}{x}}=3\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda -2\cdot\dfrac{1}{x}}{\big(f(x)-5x\big)+\dfrac{1}{x}}=3 \end{align*}$

Επειδή $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0,$ και από υπόθεση

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=5 \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty} \big(f(x)-5x)=2,$

έχουμε:

$\begin{align*} & \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3\cdot\dfrac{f(x)}{x}+\lambda -2\cdot\dfrac{1}{x}}{\big(f(x)-5x\big)+\dfrac{1}{x}}=3\\\\ & \dfrac{3\cdot 5+\lambda -2\cdot 0}{2+0}=3\\\\ & \dfrac{15+\lambda }{2}=3\\\\ &15 +\lambda =2\cdot 3\\ &\lambda =6-15\\ &\lambda =-9. \end{align*}$