ΟΡΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΗΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Για τον υπολογισμό των ορίων στο μηδέν και στο άπειρο των λογαριθμικών συναρτήσεων έχουμε τα παρακάτω

  • Αν \alpha >1, τότε ισχύουν:

        \[\lim_{x\to 0^{+}}\log_{\alpha}x =-\infty \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty}\log_{\alpha}x +\infty\]

  • Αν 0<\alpha <1, τότε ισχύουν:

        \[\lim_{x\to 0^{+}}\log_{\alpha}x =+\infty \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty}\log_{\alpha}x =-\infty\]

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί το όριο

    \[\lim_{x\to 0^{+}}\big(\log x +\ln x\big)\]

Λύση
Ισχύει ότι:

    \[\lim_{x\to 0^{+}}\big \log x =+\infty \quad \text{και } \quad \lim_{x\to 0^{+}}\ln x=+\infty.\]

Οπότε

    \[\lim_{x\to 0^{+}}\big(\log x +\ln x\big)=+\infty\]

Παράδειγμα.2.
Να υπολογισθεί το όριο

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big( \ln(x^{3}+4x)-\ln(x^{2}+2)\Big)\]

Λύση
Έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big( \ln(x^{3}+4x)-\ln(x^{2}+2)\Big)=\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\ln\Big(\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2}\Big) \Bigg)\]

Θέτουμε u =\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2},

Οπότε θα ισχύει

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x\to +\infty} x =+\infty.\]

ή αλλιώς όταν το x\to +\infty τότε και το u\to +\infty.

Οπότε, για το αρχικό όριο θα έχουμε ότι:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\ln\Big(\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2}\Big) \Bigg)=\\\\ &\lim_{u \to +\infty}\ln u=+\infty. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *