ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα
Να υπολογισθούν τα όρια

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \alph{afa})\ } \begin{tabular}{ l l  l} &\afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-\hm x}{x}  \, $ \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(x\cdot\hm\dfrac{1}{x}\big)$  &\afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\syn x}{x+3}  $  \end{tabular} \]

Λύση
\alpha') Έχουμε ότι

    \begin{align*} & \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-\hm x}{x}=\\\\ & \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\dfrac{x}{x}-\dfrac{\hm x}{x}\big)=\\\\ & \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(1-\dfrac{\hm x}{x}\big) \quad (1.) \end{align*}

Για κάθε x\in \rr έχουμε ότι:

    \[-1\leq \hm x \leq 1\Leftrightarrow\]

    \[|\hm x| \leq 1.\]

Οπότε έχουμε:

    \begin{align*} &\Bigg|\dfrac{\hm x}{x}\bigg| = \bigg| \dfrac{1}{x}\cdot \hm x\bigg|=\\\\ &\bigg| \dfrac{1}{x}\bigg|\cdot |\hm x| \leq  \bigg| \dfrac{1}{x}\bigg| \cdot 1 = \bigg| \dfrac{1}{x}\bigg|. \end{align*}

δηλαδη δείξαμε ότι ισχύει:

    \[\bigg|\dfrac{\hm x}{x}\bigg|\leq \bigg|\dfrac{1}{x}\bigg|\]

άρα

    \begin{align*} &\bigg|\dfrac{\hm x}{x}\bigg|\leq \bigg|\dfrac{1}{x}\bigg|\Leftrightarrow \\\\ &-\bigg|\dfrac{1}{x}\bigg|\leq \dfrac{\hm x}{x}\leq\bigg|\dfrac{1}{x}\bigg| \end{align*}

Επειδη

    \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0,\]

έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to+\infty}\Bigg(-\bigg|\dfrac{1}{x}\bigg|\Bigg)=0=\lim_{x\to+\infty}\bigg|\dfrac{1}{x}\bigg|.\]

Άρα απο κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\hm x}{x}=0. \quad (2.)\]

Οπότε

    \[(1.)\overset{(2.)}{\Rightarrow}\lim_{x\to+\infty}\big(1-\dfrac{\hm x}{x}\big)=1.\]

Τελικά, το αρχικο όριο στο άπειρο είναι

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-\hm x}{x}=1.\]

\beta ') ‘Εχουμε

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x} =0,\]

επειδή \hm 0 =0 έχουμε:

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\Big(x\cdot \hm \dfrac{1}{x}\Big) =(+\infty \cdot 0).\]

Για να ξεπεράσουμε την απροσδιόριστη μορφή άπειρο επί μηδέν μορφοποιούμε το όριο ως εξης:

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big(x\cdot \hm \dfrac{1}{x}\Big)=\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\dfrac{\hm \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\Bigg).\]

Θέτουμε u =\dfrac{1}{x} με \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x} =0,
ή αλλιώς όταν το x\to +\infty τότε και το u\to 0.
Οπότε το ζητούμενο όριο στο άπειρο γίνεται:

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big(x\cdot \hm \dfrac{1}{x}\Big)=\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\dfrac{\hm \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\Bigg)=\lim_{u\to 0}\dfrac{\hm u}{u}=1.\]

\gamma') Για να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το x οπότε:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\syn x}{x+3}= \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{\syn x}{x}}{\dfrac{x+3}{x}}\]

Υπολογίζουμε ξεχωριστά το όριο στο συν άπειρο του αριθμητή και του παρονομαστή.
Για κάθε x \in \rr ισχύει ότι:

    \[-1\leq\syn x \leq 1 \Leftrightarrow\]

    \[\big|\syn x \big| \leq 1.\]

Άρα θα έχουμε ότι:

    \begin{align*} &\Big|\dfrac{\syn x}{x}\Big|=\Big| \dfrac{1}{x}\cdot \syn x\Big|= \\\\ &\Big|\dfrac{1}{x}\Big|\cdot \Big|\syn x\Big| \leq \Big|\dfrac{1}{x}\Big|\cdot 1 =\Big|\dfrac{1}{x}\Big|. \end{align*}

Συνεπώς θα ισχύει ότι:

    \[\Big|\dfrac{\syn x}{x}\Big|\leq \Big|\dfrac{1}{x}\Big| \Leftrightarrow\]

    \[-\Big|\dfrac{1}{x}\Big|\leq\dfrac{\syn x}{x} \leq\Big|\dfrac{1}{x}\Big|\]

Επειδη

    \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0,\]

έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to+\infty}\Bigg(-\bigg|\dfrac{1}{x}\bigg|\Bigg)=0=\lim_{x\to+\infty}\bigg|\dfrac{1}{x}\bigg|.\]

Άρα απο κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει ότι

    \[\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\syn x}{x}=0. \quad (1.)\]

Επίσης έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+3}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1. \quad (2.)\]

Απο (1.) και (2.) το αρχικό όριο στο άπειρο γίνεται:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\syn x}{x+3}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{\syn x}{x}}{\dfrac{x+3}{x}}=\dfrac{0}{1}=0.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

8 thoughts on “ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ”

  1. Το δεύτερο όριο έχει υπολογιστεί λάθος. Δεν είναι 0, αλλά 1. θα ήταν μηδέν, εάν επρόκειτο για όριο με χ να τείνει στο άπειρο της παράστασης (ημχ)/χ

  2. Αφού εγώ γνωριζώ ημχ/χ = 1
    Γιατί να μπω στη διαδικασία κριτιρίου παρεμβολής και να πω οτι το οριο ειναι
    Lim (1-(ημχ/χ)) = 0 ;
    X->+απειρο

    1. Το 0 \cdot  \infty = \dfrac {1}{0} \cdot \infty = \dfrac{\infty}{\infty} το οποίο είναι απροσδιόριστη μορφή που δεν σημαινει οτι ειναι αδύνατο, αλλα σημαίνει οτι δεν ξερουμε πόσο κάνει. (μπορει και να κανει μηδεν) Γιαυτό πρεπει να το προσδιορίσουμε κάνοντας στο όριο τις καταλλήλες μορφοποιήσεις

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *