ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ.

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f: \rr \to \rr, για την οποία, για κάθε x>0, ισχύει:

    \[2x^{3}-x^{2}-3\leq f(x)\leq 2x^{3}+3x^{2}+5.\]

Να υπολογισθούν τα όρια στο άπειρο:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \alph{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } &\afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) \quad \quad $ \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x^{3}}.$   \end{tabular} \]

Λύση.

\alpha' ) Έχουμε ότι:

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(2x^{3}-x^{2}-3)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}2x^{3}=+\infty,\]

επίσης

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(2x^{3}+3x^{2}+5)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}2x^{3}=+\infty,\]

Άρα από κριτήριο παρεμβολής έχουμε

    \[\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty.\]

\beta') Αφού για κάθε x>0 ισχύει ότι

    \[2x^{3}-x^{2}-3\leq f(x)\leq 2x^{3}+3x^{2}+5,\]

μπορούμε να διαιρέσουμε όλα τα μέλη με x^{3}>0, και έχουμε:

    \begin{align*} &2x^{3}-x^{2}-3\leq f(x)\leq 2x^{3}+3x^{2}+5=\\\\ &\dfrac{2x^{3}-x^{2}-3}{x^{3}}\leq \dfrac{f(x)}{x^{3}}\leq \dfrac{2x^{3}+3x^{2}+5}{x^{3}}. \end{align*}

Όμως ισχύει:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}-x^{2}-3}{x^{3}}\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}=2,\]

επίσης

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}+3x^{2}+5}{x^{3}}\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}=2.\]

Άρα απο κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x^{3}}=2.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *