ΣΥΝΘΕΤΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΡΙΖΙΚΑ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το όριο στο συν άπειρο

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+1}-3x+1\Big).\]

Λύση
Επειδη

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(x^{2}+1)=+\infty\]

και

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(4x^{2}+5x+1) =+\infty\]

και

    \[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-3x+1)=-\infty,\]

έχουμε

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+1}-3x+1\Big)=(+\infty -\infty).\]

Μεθοδολογία. Για να απαλλαγούμε από την απροσδιοριστία άπειρο μείον άπειρο, επειδή {\color{blue}\sqrt{x^{2}}=x} και {\color{blue}\sqrt{4x^{2}}=2x,}} όταν το {\color{blue} x\to +\infty,} γράφουμε τον προσθετέο {\color{blue}-3x ως {\color{blue}-x-2x} και μορφοποιούμε το αρχικό όριο ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+1}-3x+1\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}+1}-x+\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2x+1\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\bigg(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigg)+\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2x\bigg)+1\Big) \end{align*}

Υπολογίζουμε μεμονωμένα, τα παρακάτω όρια, που είναι της μορφής άπειρο μείον άπειρο.

    \[\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigg)\, \text{και} \,\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2x\bigg)\]

Έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+1}+x\big)}{\big(\sqrt{x^{2}+1}+x\big)}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}^{2}-x^{2}}{\big(\sqrt{x^{2}+1}+x\big)}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}\cdot(1+\frac{1}{x^{2}})}+x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{|x|\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+x}. \end{align*}

Επειδή x\to +\infty \Rightarrow x>0 \Rightarrow |x|=x,
οπότε

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{|x|\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x\cdot\big(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\big)}. \end{align*}

Επειδή, \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0,
έχουμε

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x\cdot\big(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\big)}=\\\\ &\Big(\dfrac{1}{+\infty\cdot\big(\sqrt{1+0}+1\big)}\Big)=\Big(\dfrac{1}{+\infty \cdot 2}\Big)=\Big(\dfrac{1}{+\infty}\Big)=0. \end{align*}

Άρα έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigg)=0.\quad (1.)

Υπολογισμός του ορίου:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2x\bigg) =\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2x\bigg)\cdot\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x+1}+2x\bigg)}{\sqrt{4x^{2}+5x+1}+2x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2}+5x+1}^{2}-(2x)^{2}}{\sqrt{x^{2}\cdot\big(4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\big)}+2x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4x^{2}+5x+1-4x^{2}}{\sqrt{x^{2}}\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2x}=\\\\  &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{+5x+1}{|x|\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2x}. \end{align*}

Επειδή x\to +\infty \Rightarrow x>0 \Rightarrow |x|=x,
οπότε

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{+5x+1}{|x|\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{+5x+1}{x\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\cdot\big(5+\dfrac{1}{x}\big)}{x\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2x}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\cdot\big(5+\dfrac{1}{x}\big)}{x\cdot\bigg( \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2\bigg)}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{5+\dfrac{1}{x}}{ \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2}. \end{align*}

Επειδή, \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0 και \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0,
έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{5+\dfrac{1}{x}}{ \sqrt{4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+2}=\\\\ &\dfrac{5+0}{ \sqrt{4+0+0}+2}=\dfrac{5}{2+2}=\dfrac{5}{4}. \end{align*}

Άρα έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2x\bigg)=\dfrac{5}{4}\quad (2.)

Απο (1.) και (2.) το αρχικό όριο στο άπειρο γίνεται:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+1}-3x+1\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\bigg(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigg)+\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2x\bigg)+1\Big)=\\\\ & 0 +\dfrac{5}{4}+1=\accentset{1}{\accentset{\smile}{\frac{5}{4}}} + \accentset{4}{\accentset{\smile}{\frac{1}{1}}}=\dfrac{5}{4}+\dfrac{4}{4}=\dfrac{5+4}{4}=\dfrac{9}{4}. \end{align*}

Παράδειγμα.2.
Να υπολογισθεί το όριο στο μείον άπειρο

    \[\lim_{x\to -\infty}\Big( \sqrt {x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x}-\sqrt{9x^{2}+3}\Big).\]

Λύση
Επειδή

    \[\lim_{x\to -\infty}(x^{2}+1)=\lim_{x\to -\infty}x^{2}=+\infty\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}(4x^{2}+5x)=\lim_{x\to -\infty}4x^{2}=+\infty\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}(9x^{2}+3)=\lim_{x\to -\infty}9x^{2}=+\infty.\]

Τότε, το ζητούμενο αρχικό όριο στο μείον άπειρο, είναι της απροσδιόριστης μορφής άπειρο μείον άπειρο,
δηλαδή

    \[\lim_{x\to -\infty}\Big( \sqrt {x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x}-\sqrt{9x^{2}+3}\Big)=(+\infty -\infty).\]

Μεθοδολογία.Για να απαλλαγούμε από την απροσδιοριστία απειρο μείον άπειρο, επειδή {\color{blue}\sqrt{x^{2}}=-x} και {\color{blue}\sqrt{4x^{2}}=-2x}} και {\color{blue}-\sqrt{3x^{2}}=3x}} όταν το {\color{blue} x\to -\infty,} μορφοποιούμε το αρχικό όριο ως εξής:

    \begin{align*}  &\lim_{x\to -\infty}\Big( \sqrt {x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x}-\sqrt{9x^{2}+3}\Big)=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\Big( \sqrt {x^{2}+1}+x+\sqrt{4x^{2}+5x}+2x-\sqrt{9x^{2}+3}-3x\Big)=\\\\ \end{align*}

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\Bigg( \big(\sqrt {x^{2}+1}+x\big)+\big(\sqrt{4x^{2}+5x} +2x\big)-\big(\sqrt{9x^{2}+3}+3x\big)\Bigg).

  • Υπολογίζουμε ξεχωριστά τα όρια στο μείον άπειρο των παρενθέσεων, δηλαδή.
  •     \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\big(\sqrt {x^{2}+1}+x\big)=(\infty -\infty). \end{align*}

    Για να ξεπεράσουμε την απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε με τη συζυγή παράσταση, δηλαδή:

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\big(\sqrt {x^{2}+1}+x\big)=\\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\big(\sqrt {x^{2}+1}+x\big)\cdot\big(\sqrt {x^{2}+1}-x\big)}{\sqrt {x^{2}+1}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt {x^{2}+1}^{2}-x^{2}}{\sqrt {x^{2}+1}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt {x^{2}+1}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{\sqrt {x^{2}+1}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{\sqrt {x^{2}\cdot\big(1+\dfrac{1}{x^{2}}\big)}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{\sqrt {x^{2}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{|x|\cdot\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}-x}. \end{align*}

    Επειδη x\to -\infty \Rightarrow x<0 \Rightarrow |x|=-x,
    έχουμε:

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{|x|\cdot\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{-x\cdot\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}-x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{-x\cdot\big(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1\big)}. \end{align*}

    Επειδή \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0,
    έχουμε

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{-x\cdot\big(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1\big)}=\\\\ &\Bigg(\dfrac{1}{-(-\infty)\cdot\big(\sqrt{1+0}+1\big)}\Bigg)=\Bigg(\dfrac{1}{(+\infty)\cdot 2}\Bigg)=\Big(\dfrac{1}{+\infty}\Big)=0. \end{align*}

    Άρα έχουμε ότι:

        \[\lim_{x\to -\infty}\big(\sqrt {x^{2}+1}+x\big)=0. \quad (1.)\]

  • Υπολογισμός του ορίου:
  •     \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\big(\sqrt{4x^{2}+5x}+2x\big)=(\infty -\infty). \end{align*}

    Για να ξεπεράσουμε την απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε με τη συζυγή παράσταση, δηλαδή:

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x}+2x\bigg) =\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x}+2x\bigg)\cdot\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x}-2x\bigg)}{\sqrt{4x^{2}+5x}-2x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2}+5x}^{2}-(2x)^{2}}{\sqrt{x^{2}\cdot\big(4+\dfrac{5}{x}\big)}-2x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{4x^{2}+5x-4x^{2}}{\sqrt{x^{2}}\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}-2x}=\\\\  &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5x}{|x|\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}-2x}. \end{align*}

    Επειδή x\to -\infty \Rightarrow x-0 \Rightarrow |x|=-x,
    οπότε

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5x}{|x|\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}-2x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5x}{-x\cdot \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}-2x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5x}{-x\cdot\bigg( \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}+2\bigg)}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5}{-\bigg( \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}+2\bigg)}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5}{-\bigg( \sqrt{4+5\cdot\dfrac{1}{x}}+2\bigg)}. \end{align*}

    Επειδή, \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x}=0,
    έχουμε:

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5}{-\bigg( \sqrt{4+5\cdot\dfrac{1}{x}}+2\bigg)}=\\\\ &\dfrac{5}{ -\big(\sqrt{4+0}+2)}=\dfrac{5}{-(2+2)}=-\dfrac{5}{4}. \end{align*}

    Άρα έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\bigg(\sqrt{4x^{2}+5x}+2x\bigg)=-\dfrac{5}{4}\quad (2.)

  • Υπολογισμός του ορίου:
  •     \[\lim_{x\to -\infty}\Big(\sqrt{9x^{2}+3}+3x\Big)=(\infty -\infty)\]

    Για να ξεπεράσουμε την απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε με τη συζυγή παράσταση, δηλαδή:

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\Big(\sqrt{9x^{2}+3}+3x\Big)=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\Big(\sqrt{9x^{2}+3}+3x\Big)\cdot \Big(\sqrt{9x^{2}+3}-3x\Big)}{\sqrt{9x^{2}+3}-3x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ \sqrt{9x^{2}+3}^{2}-(3x)^{2}}{\sqrt{x^{2}\cdot \big(9+\dfrac{3}{x^{2}}\big)}-3x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ 9x^{2}+3-9x^{2}}{\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{ 9+\dfrac{3}{x^{2}}}-3x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{|x|\cdot\sqrt{ 9+\dfrac{3}{x^{2}}}-3x}. \end{align*}

    Επειδή x\to -\infty \Rightarrow x<0 \Rightarrow |x|=-x. Άρα

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{|x|\cdot\sqrt{ 9+\dfrac{3}{x^{2}}}-3x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{-x\cdot\sqrt{ 9+\dfrac{3}{x^{2}}}-3x}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{-x\cdot\bigg(\sqrt{ 9+\dfrac{3}{x^{2}}}+3\bigg)}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{-x\cdot\bigg(\sqrt{ 9+3\cdot\dfrac{1}{x^{2}}}+3\bigg)} \end{align*}

    Επειδή ισχύει ότι \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0,
    έχουμε:

        \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{-x\cdot\bigg(\sqrt{ 9+3\cdot\dfrac{1}{x^{2}}}+3\bigg)}=\\\\ &\Bigg(\dfrac{3}{-(-\infty)\cdot\big(\sqrt{ 9+3\cdot 0}+3\big)}\Bigg)=\Bigg(\dfrac{3}{+\infty\cdot 9}\Bigg)=0. \end{align*}

    Άρα έχουμε ότι

        \[\lim_{x\to -\infty}\Big(\sqrt{9x^{2}+3}+3x\Big)=0 \quad (3.)\]

    Τέλος λόγω των (1.), \quad (2.) και (3.) το αρχικό όριο γίνεται:

        \[\lim_{x\to -\infty}\Big( \sqrt {x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x}-\sqrt{9x^{2}+3}\Big)=\]

    \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\Bigg( \big(\sqrt {x^{2}+1}+x\big)+\big(\sqrt{4x^{2}+5x} +2x\big)-\big(\sqrt{9x^{2}+3}+3x\big)\Bigg)=

        \[0-\dfrac{5}{4}+0=-\dfrac{5}{4}.\]

    Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *