ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΡΙΖΙΚΑ

Print Friendly, PDF & Email

Για τον υπολογισμό του ορίου στο άπειρο, συναρτήσεων που περιέχουν ριζικά, δηλαδή της μορφής:

    \[\sqrt[\nu]{f(x)}\pm g(x) \, \,\text{ή} \,\, \sqrt[\nu]{f(x)}\pm \sqrt[\mu]{g(x)} \quad \text{με} \,\,\nu,\mu \in \mathbb{N}, \, \,\nu,\mu \geq 2.\]

Δουλεύουμε ως εξής:

  • Απο κάθε υπόρριζο βγάζουμε κοινό παράγοντα το x σε δύναμη ίση με την τάξη της ρίζας.
  • Χωρίζουμε τις ρίζες ώστε να προκύψει:

        \[\sqrt[\nu]{x^{\nu}}=|x|\]

  • Βγάζουμε την απόλυτη τιμή αναλόγως το πρόσημο του x δηλαδή

        \[\text{Αν} \quad x\to +\infty \Rightarrow x>0 \Rightarrow |x|=x.\]

        \[\text{Αν} \quad x\to-\infty \Rightarrow x<0 \Rightarrow |x|=-x.\]

  • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x

Στη περίπτωση που εμφανιστεί απροσδιόριστη μορφή μηδέν επί άπειρο, 0\cdot(\pm \infty), τότε στο αρχικό όριο πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση.

ΣΧΟΛΙΟ
Για να μπορούμε να υπολογίσουμε όριο στο άπειρο της μορφής: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{f(x)}, θα πρέπει η συνάρτηση f, να μπορεί να ορίζεται σε διάστημα της μορφής (\alpha, +\infty) με \alpha \in \rr.
Ομοίως:
Για να μπορούμε να υπολογίσουμε όριο στο άπειρο της μορφής: \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sqrt{f(x)}, θα πρέπει η συνάρτηση f, να μπορεί να ορίζεται σε διάστημα της μορφής (-\infty,\alpha, ) με \alpha \in \rr.

Παράδειγμα.1.
Να βρεθούν τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } \afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{4x^{2}-2x+1}$ & \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}+5x+7}.$   \end{tabular} \]

Λύση

i) Έχουμε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{4x^{2}-2x+1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^{2}\cdot(4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}})}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}|x|\cdot\sqrt{4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}. \end{align*}

Επειδή το x \to +\infty \Rightarrow x>0\Rightarrow |x|=x.

Οπότε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}|x|\cdot\sqrt{4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\cdot\sqrt{4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\cdot\sqrt{4-2\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}. \end{align*}

Επειδή ισχύει \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0 και \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.

έχουμε:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\cdot\sqrt{4-2\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\\\\ &+\infty\cdot\sqrt{4-2\cdot 0+0}= (+\infty \cdot 2) =+\infty. \end{align*}

ii) Έχουμε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}+5x+7}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}\cdot(1+\frac{5}{x}+\frac{7}{x^{2}})}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{7}{x^{2}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}|x|\cdot\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{7}{x^{2}}}. \end{align*}

Επειδή το x \to -\infty \Rightarrow x<0\Rightarrow |x|=-x.

Οπότε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}|x|\cdot\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{7}{x^{2}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}-x\cdot\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{7}{x^{2}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}-x\cdot\sqrt{1+5\cdot \frac{1}{x}+7\cdot\frac{1}{x^{2}}}. \end{align*}

Επειδή ισχύει \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0 και \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.

Έχουμε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}-x\cdot\sqrt{1+5\cdot \frac{1}{x}+7\cdot\frac{1}{x^{2}}}=\\\\ &\big(-(-\infty)\cdot\sqrt{1+5\cdot 0+0}\big)= (+\infty \cdot 1) =+\infty. \end{align*}

Παράδειγμα.2.

Να υπολογισθεί το όριο

    \[\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt[3]{x^{3}-5x^{2}+7x-3}+2x\big).\]

Λύση

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt[3]{x^{3}-5x^{2}+7x-3}+2x\big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt[3]{x^{3}\cdot\Big(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}\Big)}+2x\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\bigg(\sqrt[3]{x^{3}}\cdot\sqrt[3]{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}}+2x\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\bigg(|x|\cdot\sqrt[3]{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}}+2x\bigg). \end{align*}

Επειδή x \to +\infty\Rightarrow x>0 \Rightarrow |x|=x.

Οπότε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\bigg(|x|\cdot\sqrt[3]{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}}+2x\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\bigg(x\cdot\sqrt[3]{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}}+2x\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\bigg(x\cdot\Big(\sqrt[3]{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}}+2\Big)\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\bigg(x\cdot\Big(\sqrt[3]{1-5\cdot\dfrac{1}{x}+7\cdot\dfrac{1}{x^{2}}-3\cdot\dfrac{1}{x^{3}}}+2\Big)\bigg). \end{align*}

Επειδή ισχύει ότι

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0, \, \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0, \, \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{3}}=0.\]

Τότε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\bigg(x\cdot\Big(\sqrt[3]{1-5\cdot\dfrac{1}{x}+7\cdot\dfrac{1}{x^{2}}-3\cdot\dfrac{1}{x^{3}}}+2\Big)\bigg)=\\\\ &\bigg(+\infty\cdot\Big(\sqrt[3]{1-5\cdot 0+7\cdot 0-3\cdot 0}+2\Big)\bigg)=\\\\ &\bigg(+\infty\cdot\Big(1+2\Big)\bigg)=+\infty \cdot 3 =+\infty. \end{align*}

Β.ΤΡΟΠΟΣ.
Υπολογίζουμε το όριο της υπόρριζης συνάρτησης, δηλαδή

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}(x^{3}-5x^{2}+7x-3)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}x^{3}=+\infty. \end{align*}

Άρα είναι και \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{x^{3}-5x^{2}+7x-3}=+\infty.

Τελικά

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(\sqrt[3]{x^{3}-5x^{2}+7x-3}+2x)=\\\\ & =(+\infty +\infty)=+\infty. \end{align*}

Παράδειγμα.3.

Να υπολογισθεί το όριο:

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{4x^{2}-5x+1}-x\Big).\]

Λύση

Υπολογίζουμε πρώτα, το όριο στο άπειρο, της υπόρριζης συνάρτησης.

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}(4x^{2}-5x+1)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}4x^{2} =+\infty. \end{align*}

Άρα \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{4x^{2}-5x+1}=+\infty.

Οπότε, το αρχικό όριο στο άπειρο, γίνεται:

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{4x^{2}-5x+1}-x\Big)=(+\infty-\infty).\]

Για να ξεπεράσουμε την απροσδιόριστη μορφή, άπειρο μείον άπειρο, βγάζουμε το x^{2} κοινό παράγοντα από το υπόρριζο και στη συνέχεια το x από τη συνάρτηση του ορίου στο άπειρο που θέλουμε να υπολογίσουμε, δηλαδή:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{4x^{2}-5x+1}-x\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}\cdot\big(4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}\big)}-x\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-x\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Big(|x|\cdot\sqrt{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-x\Big). \end{align*}

Επειδή x\to +\infty\Rightarrow x>0\Rightarrow |x|=x, άρα

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\Big(|x|\cdot\sqrt{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-x\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Big(x\cdot\sqrt{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-x\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Big(x\cdot\big(\sqrt{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-1\big)\Big)=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\Big(x\cdot\big(\sqrt{4-5\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-1\big)\Big). \end{align*}

Επειδή ισχύουν, \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=+\infty και \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=+\infty, έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\Big(x\cdot\big(\sqrt{4-5\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-1\big)\Big)=\\\\ &\Big(+\infty\cdot\big(\sqrt{4-5\cdot 0+0}-1\big)\Big)= \\\\ &\big(+\infty \cdot (2-1)\big)=\big(+\infty\cdot 1\big)=+\infty. \end{align*}

Παράδειγμα.4.
Να υπολογισθεί το όριο:

    \[\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x^{2}-2x+3}-\sqrt{x^{2}-3x+4}\big).\]

Λύση
Υπολογίζουμε πρώτα το όριο στο άπειρο των υπόρριζων συναρτήσεων, δηλαδή

    \[\lim_{x\to +\infty}(x^{2}-2x+3)=\lim_{x\to +\infty}x^{2}=+\infty.\]

άρα \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}=+\infty.

επίσης

    \[\lim_{x\to +\infty}(x^{2}-3x+4)\lim_{x\to +\infty}x^{2}=+\infty.\]

άρα \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^{2}-3x+4}=+\infty.

Συνεπώς το αρχικό όριο γίνεται:

    \[\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x^{2}-2x+3}-\sqrt{x^{2}-3x+4}\big)=(\infty-\infty)\]

Για να ξεπεράσουμε την απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο βγάζουμε το το x^{2} κοινό παράγοντα από το κάθε υπόρριζο, δηλαδή:

    \begin{align*} & \lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x^{2}-2x+3}-\sqrt{x^{2}-3x+4}\big)=\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\Bigg(\sqrt{x^{2}\cdot\bigg(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\bigg)}-\sqrt{x^{2}\cdot\bigg(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}\bigg)}\Bigg)=\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\Bigg(\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}-\sqrt{x^{2}}\cdot \sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Bigg)=\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\Bigg(|x|\cdot\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}-|x|\cdot \sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Bigg). \end{align*}

Επειδή, x \to +\infty \Rightarrow x>0\Rightarrow |x|= x,

άρα

    \begin{align*} & \lim_{x\to +\infty}\Bigg(|x|\cdot\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}-|x|\cdot \sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Bigg)=\\\\ & \lim_{x\to +\infty}\Bigg(x\cdot\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}-x\cdot \sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Bigg). \end{align*}

Επειδή, ισχύουν \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0 και \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,
έχουμε:

    \begin{align*} & \lim_{x\to +\infty}\Bigg(x\cdot\bigg(\sqrt{1-2\cdot\frac{1}{x}+3\cdot\frac{1}{x^{2}}}- \sqrt{1-3\cdot\frac{1}{x}+4\cdot\frac{1}{x^{2}}}\bigg)\Bigg)=\\\\ & \Bigg(+\infty\cdot\bigg(\sqrt{1-2\cdot 0+3\cdot 0}- \sqrt{1-3\cdot 0+4\cdot 0}\bigg)\Bigg)= \\\\ &\Big(+\infty\cdot\big(1- 1\big)\Big)=\Big(+\infty\cdot 0\Big). \end{align*}

Για να ξεπεράσουμε την απροσδιόριστη μορφή άπειρο επί μηδέν πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε, στο αρχικό όριο, με τη συζυγή παράσταση.

    \[\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x^{2}-2x+3}-\sqrt{x^{2}-3x+4}\big)=\]

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\big(\sqrt{x^{2}-2x+3}-\sqrt{x^{2}-3x+4}\big)\cdot \big(\sqrt{x^{2}-2x+3}+\sqrt{x^{2}-3x+4}\big)}{\sqrt{x^{2}-2x+3}+\sqrt{x^{2}-3x+4}} =

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\big(\sqrt{x^{2}-2x+3}\big)^{2}-\big(\sqrt{x^{2}-3x+4}\big)^{2}}{\sqrt{x^{2}-2x+3}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\big(x^{2}-2x+3\big)-\big(x^{2}-3x+4\big)}{\sqrt{x^{2}-2x+3}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}-2x+3-x^{2}+3x-4}{\sqrt{x^{2}-2x+3}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+3}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}\cdot \big(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\big)}+\sqrt{x^{2}\cdot\big(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}\big)}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}}\cdot \sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{|x|\cdot \sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+|x|\cdot\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{|x|\cdot \Big(\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Big)}. \end{align*}

Επειδή, x\to +\infty\Rightarrow x>0\Rightarrow |x| =x,
οπότε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{|x|\cdot \Big(\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{x\cdot \Big(\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\cdot\big(1-\frac{1}{x}\big)}{x\cdot \Big(\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}\Big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1-2\cdot\dfrac{1}{x}+3\cdot\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-3\cdot\dfrac{1}{x}+4\cdot \dfrac{1}{x^{2}}}}. \end{align*}

Επειδή, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 και \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0,
έχουμε ότι

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1-2\cdot\dfrac{1}{x}+3\cdot\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-3\cdot\dfrac{1}{x}+4\cdot \dfrac{1}{x^{2}}}}=\\\\ &\dfrac{1-0}{\sqrt{1-2\cdot 0+3\cdot 0}+\sqrt{1-3\cdot 0+4\cdot 0}}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα, Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *