ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Print Friendly, PDF & Email

Γενικά, για να υπολογίσουμε το όριο στο άπειρο σε συναρτήσεις που περιέχουν απόλυτες τιμές, υπολογίζουμε πρώτα το όριο στο άπειρο των συναρτήσεων που βρίσκονται μέσα στις απόλυτες τιμές, ώστε γνωρίζοντας το πρόσημό τους να μπορέσουμε να βγάλουμε τα απόλυτα.

Παράδειγμα.
Να υπολογισθεί το όριο:

    \[\lim_{x\to -\infty}\dfrac{|x^{2}-5x+13|-7x^{2}}{|x^{3}-3x^{2}+5|-x^{3}}.\]

Λύση

Έχουμε ότι:

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^{2}-5x+13)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{2}=+\infty.

Επίσης:

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^{3}-3x^{2}+5)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{3}=-\infty.

Άρα θα υπάρχει \alpha \in \rr, τέτοιο ώστε για κάθε x\in (-\infty, \alpha) να ισχύουν τα παρακάτω:

x^{2}-5x+13>0\Leftrightarrow |x^{2}-5x+13|=x^{2}-5x+13.
και
x^{3}-3x^{2}+5<0\Leftrightarrow |x^{3}-3x^{2}+5|=-(x^{3}-3x^{2}+5).

Επομένως το αρχικό όριο γίνεται:

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{|x^{2}-5x+13|-7x^{2}}{|x^{3}-3x^{2}+5|-x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{(x^{2}-5x+13)-7x^{2}}{-(x^{3}-3x^{2}+5)-x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}-5x+13-7x^{2}}{-x^{3}+3x^{2}-5-x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{-6x^{2}-5x+13}{-2x^{3}+3x^{2}-5}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{-6x^{2}}{-2x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{x}=\Big(\dfrac{3}{-\infty}\Big) =0.\\\\ \end{align*}

Β.ΤΡΟΠΟΣ.

Με αναγκαστική παραγοντοποίηση.
Bγάζουμε το x στη μεγαλύτερη δύναμη κοινό παράγοντα μέσα από τις απόλυτες τιμές.
Δηλαδή

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{|x^{2}-5x+13|-7x^{2}}{|x^{3}-3x^{2}+5|-x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\bigg|x^{2}\big(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{13}{x^{2}}\big)\bigg|-7x^{2}}{\bigg|x^{3}\big(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}\big)\bigg|-x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{|x^{2}|\cdot\bigg|1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{13}{x^{2}}\bigg|-7x^{2}}{|x^{3}|\cdot\bigg|1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}\bigg|-x^{3}}\overset{|x^{2}|=x^{2}}{=}\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}\cdot\bigg|1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{13}{x^{2}}\bigg|-7x^{2}}{|x^{3}|\cdot\bigg|1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}\bigg|-x^{3}}\overset{|x^{2}|=x^{2}}{=} \end{align*}

Επειδή x\to-\infty έχουμε ότι x<0\Rightarrow x^{3}<0\Rightarrow |x^{3}|=-x^{3}.

Οπότε

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}\cdot\bigg|1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{13}{x^{2}}\bigg|-7x^{2}}{|x^{3}|\cdot\bigg|1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}\bigg|-x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}\cdot\bigg|1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{13}{x^{2}}\bigg|-7x^{2}}{-x^{3}\cdot\bigg|1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}\bigg|-x^{3}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}\cdot\Bigg(\bigg|1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{13}{x^{2}}\bigg|-7\Bigg)}{-x^{3}\cdot\Bigg(\bigg|1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}\bigg|+1\Bigg)}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\Bigg(\bigg|1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{13}{x^{2}}\bigg|-7\Bigg)}{-x\cdot\Bigg(\bigg|1-\dfrac{3}x+\dfrac{5}{x^{3}}\bigg|+1\Bigg)}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\Bigg(\bigg|1-5\cdot\dfrac{1}{x}+13\cdot\dfrac{1}{x^{2}}\bigg|-7\Bigg)}{-x\cdot\Bigg(\bigg|1-3\cdot\dfrac{1}{x}+5\cdot\dfrac{1}{x^{3}}\bigg|+1\Bigg)} \end{align*}

Επειδή ισχύει ότι:

    \[\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0, \, \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0, \, \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x^{3}}=0.\]

Τότε έχουμε ότι:

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\Bigg(\bigg|1-5\cdot\dfrac{1}{x}+13\cdot\dfrac{1}{x^{2}}\bigg|-7\Bigg)}{-x\cdot\Bigg(\bigg|1-3\cdot\dfrac{1}{x}+5\cdot\dfrac{1}{x^{3}}\bigg|+1\Bigg)}=\\\\ &\dfrac{\Bigg(\bigg|1-5\cdot 0+13\cdot 0\bigg|-7\Bigg)}{-(-\infty)\cdot\Bigg(\bigg|1-3\cdot 0+5\cdot 0\bigg|+1\Bigg)}=\\\\ &\Bigg(\dfrac{(1-7)}{+\infty\cdot(1+1)}\Bigg)=\Bigg(\dfrac{-6}{+\infty \cdot 2}\Bigg)=\Bigg(\dfrac{-6}{+\infty}\Bigg)=0. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα, Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *