ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Print Friendly, PDF & Email

Για τον υπολογισμό, ορίου στο άπειρο, αθροίσματος ή διαφοράς δύο ρητών συναρτήσεων, υπολογίζουμε στο άπειρο το όριο κάθε ρητής συνάρτησης ξεχωριστά. Στην περίπτωση που προκύψει η απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο τότε κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και υπολογίζουμε το όριο στο άπειρο της νέας ρητής συνάρτησης που προκύπτει.

Παράδειγμα.
Να υπολογισθεί το όριο \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\big(\dfrac{x^{3}}{x-2}+\dfrac{x^{2}}{x+3}\big)
Λύση

Υπολογίζουμε πρώτα το όριο στο πλην άπειρο της κάθε ρητής συνάρτησης ξεχωριστά
δηλαδή:

    \[\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{3}}{x-2}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{3}}{x}=\lim_{x\to -\infty}x^{2}=+\infty.\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}}{x+3}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}}{x}=\lim_{x\to -\infty}x=-\infty.\]

Άρα το αρχικό όριο, στο πλην άπειρο, είναι της απροσδιόριστης μορφής άπειρο μείον άπειρο.

    \[\lim_{x\to -\infty}\big(\dfrac{x^{3}}{x-2}+\dfrac{x^{2}}{x+3}\big)=+\infty -\infty.\]

Για να ξεπεράσουμε την απροσδιοριστία άπειρο πλην άπειρο κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\big(\dfrac{x^{3}}{x-2}+\dfrac{x^{2}}{x+3}\big)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 0}\Big( \accentset{x+3}{\accentset{\smile}{\frac{x^{3}}{x-2}}} - \accentset{{{{x-2}}}}{\accentset{\smile}{\frac{x^{2}}{x+3}}} \Big) = \\\\ &\lim_{x\to -\infty}\bigg(\dfrac{x^{3}(x+3)}{(x-2)(x+3)}+\dfrac{x^{2}(x-2)}{(x+3)(x-2)}\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\bigg(\dfrac{x^{3}(x+3)+x^{2}(x-2)}{(x+3)(x-2)}\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\bigg(\dfrac{x^{4}+3x^{3}+x^{3}-2x^{2}}{x^{2}-2x+3x-6}\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\bigg(\dfrac{x^{4}+4x^{3}-2x^{2}}{x^{2}+x-6}\bigg)=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{4}}{x^{2}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}x^{2}=+\infty. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα,
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *