ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω η ρητή συνάρτηση

    \[Q(x)=\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}+\alpha_{\nu-1}x^{\nu -1}+\cdots +\alpha_{1}x+\alpha_{0} }{\beta_{\mu}x^{\mu}+\beta_{\mu-1}x^{\mu -1}+\cdots +\beta_{1}x+\beta_{0} }\quad \text{με} \, \alpha_{\nu},\beta_{\mu}\neq 0.\]

Για να υπολογίσουμε τα όριο στο άπειρο, της ρητής συνάρτησης, \displaystyle\lim_{x\to +\infty}Q(x) και \displaystyle\lim_{x\to-\infty}Q(x), υπολογίζουμε το όριο στο άπειρο του λόγου του μεγιστοβάθμιων όρων δηλαδη:

    \[\lim_{x\to +\infty}Q(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\beta_{\mu}x^{\mu}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\mu}}\cdot x^{\nu-\mu}\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}Q(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\beta_{\mu}x^{\mu}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\mu}}\cdot x^{\nu-\mu}\]


Ισχύoυν ότι:

    \[\lim_{x\to +\infty}x^{\nu}=+\infty \quad \text{και}\, \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^{\nu}}=0,\,\nu\in\mathbb{N}^*.\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}x^{\nu}=\left\{ \begin{tabular}{ll} 		$+\infty,  \quad  \text{αν} \, \nu \, \text {άρτιος} $ \\ 		$-\infty , \quad  \text{αν} \,\nu \, \text {περιττός,}$             	   \end{tabular} 	\right.\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{\nu}}=0,\,{\tiny{\nu\in\mathbb{N}^*}}.\]

Παράδειγμα.
Να υπολογισθούν τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l l} &\afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+3}{x^{2}-5}$ & \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5x^{4}-3x+2}{x^{4}+3x^{3}-2x+1}$  \\\\ &\afa $\,\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}+2}{x^{3}-3x+1} $ \end{tabular} \]

Λύση

i.) Έχουμε ότι

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+3}{x^{2}-5}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}}{x^{2}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}2x^{3-2}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}2x^{1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}2x=2\cdot(+\infty)=+\infty. \end{align*}

ii.) Έχουμε ότι

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5x^{4}-3x+2}{x^{4}+3x^{3}-2x+1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5x^{4}}{x^{4}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to -\infty}5=5. \end{align*}

iii.) Έχουμε ότι

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}+2}{x^{3}-3x+1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}}{x^{3}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=\Big(\dfrac{1}{\infty}\Big)=0. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα, Παπακωνσταντίνου αυτοέκδοση.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *