ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Αν \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty, να υπολογισθεί το όριο

    \[\lim_{x\to 1} \Big[ \sqrt{4f^{2}(x)-3f(x)+2}+f(x)\Big]\]

Λύση

Έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to 1} \Big[ \sqrt{4f^{2}(x)-3f(x)+2}+f(x)\Big]=\\\\ &\lim_{x\to 1} \Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)\Bigg(4-\frac{3}{f(x)}+\frac{2}{f^{2}(x)}\Bigg)}+f(x)\Bigg]=\\\\ &\lim_{x\to 1} \Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)}\cdot\sqrt{4-\frac{3}{f(x)}+\frac{2}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]=\\\\ &\lim_{x\to 1} \Bigg[ |f(x)|\cdot\sqrt{4-\frac{3}{f(x)}+\frac{2}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]\\\\ \end{align*}

Επειδή \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty έχουμε ότι πολύ κοντά στο 1 ισχύει ότι

    \[f(x)<0\Leftrightarrow |f(x)|= -f(x).\]

Οπότε το όριο γράφεται

    \begin{align*} &\lim_{x\to 1} \Bigg[ |f(x)|\cdot\sqrt{4-\frac{3}{f(x)}+\frac{2}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]\\\\ &\lim_{x\to 1} \Bigg[ -f(x)\cdot\sqrt{4-\frac{3}{f(x)}+\frac{2}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]\\\\ &\lim_{x\to 1} \Bigg[ f(x)\cdot\bigg(-\sqrt{4-\frac{3}{f(x)}+\frac{2}{f^{2}(x)}}+1\bigg)\Bigg]\\\\ \end{align*}

Επειδή \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty τότε

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3}{f(x)}=\Big(\dfrac{3}{-\infty}\Big) =0\,\text{και}\, \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2}{f^{2}(x)}=\Big(\dfrac{2}{+\infty}\Big) =0\]

Τότε το αρχικό όριο γίνεται

    \begin{align*} &\lim_{x\to 1} \Big[ \sqrt{4f^{2}(x)-3f(x)+2}+f(x)\Big]=\\\\ &\lim_{x\to 1} \Bigg[ f(x)\cdot\bigg(-\sqrt{4-\frac{3}{f(x)}+\frac{2}{f^{2}(x)}}+1\bigg)\Bigg]\\\\ &(-\infty)(-\sqrt{4-0+0}+1)=\\\\ &-\infty\cdot (-2+1)=-\infty \cdot (-1)=+\infty. \end{align*}

Παράδειγμα.2.
Δίνεται η συνάρτηση f:\rr\to\rr, για την οποία ισχύει \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty. Να υπολογισθεί το όριο:

    \[\lim_{x\to 1}\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}+f(x)\Bigg]\]

Λύση

Έχουμε

    \begin{align*} &\lim_{x\to 1}\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}+f(x)\Bigg]=\\\\ &\lim_{x\to 1}\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)\cdot\bigg(1-\frac{2}{f(x)}+\frac{3}{f^{2}(x)}}\bigg)+f(x)\Bigg]=\\\\ &\lim_{x\to 1}\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)}\cdot\sqrt{1-\frac{2}{f(x)}+\frac{3}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]=\\\\ &\lim_{x\to 1}\Bigg[ |f(x)|\cdot\sqrt{1-\frac{2}{f(x)}+\frac{3}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]=\\\\ \end{align*}

Επειδή

\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty αυτό σημαίνει ότι πολύ κοντά στο 1 ισχύει ότι:

    \[f(x)<0\Leftrightarrow |f(x)| =-f(x)\]

Συνεπώς έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to 1}\Bigg[ |f(x)|\cdot\sqrt{1-\frac{2}{f(x)}+\frac{3}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]=\\\\ &\lim_{x\to 1}\Bigg[ -f(x)\cdot\sqrt{1-\frac{2}{f(x)}+\frac{3}{f^{2}(x)}}+f(x)\Bigg]=\\\\ &\lim_{x\to 1}\Bigg[ f(x)\cdot\bigg(-\sqrt{1-\frac{2}{f(x)}+\frac{3}{f^{2}(x)}}+1\bigg)\Bigg]=\\\\ \end{align*}

Επειδή \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty τότε

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2}{f(x)}=\Big(\dfrac{2}{-\infty}\Big) =0\,\text{και}\, \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3}{f^{2}(x)}=\Big(\dfrac{3}{+\infty}\Big) =0\]

Τότε το όριο γίνεται

    \begin{align*} &\lim_{x\to 1}\Bigg[ f(x)\cdot\bigg(-\sqrt{1-\frac{2}{f(x)}+\frac{3}{f^{2}(x)}}+1\bigg)\Bigg]=\\\\ &-\infty \cdot\bigg(-\sqrt{1- 0+0}+1\bigg)=-\infty \cdot(-1+1)=-\infty \cdot 0 \end{align*}

Το οποίο είναι απροσδιόριστη μορφή.Στην περίπτωση αυτή για να υπολογίσουμε το αρχικό όριο, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση:

    \[\lim_{x\to 1}\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}+f(x)\Bigg]=\]

\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}+f(x)\Bigg]\cdot\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}-f(x)\Bigg]}{\sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}-f(x)}=

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\Big[ \sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}\Big]^{2}-f^{2}(x)}{\sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}-f(x)}=\]

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ f^{2}(x)-2f(x)+3-f^{2}(x)}{\sqrt{f^{2}(x)}\cdot\sqrt{1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{3}{f^{2}(x)}}-f(x)}=\]

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ -2f(x)+3}{|f(x)|\cdot\sqrt{1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{3}{f^{2}(x)}}-f(x)}=\]

Επειδή

\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty αυτό σημαίνει ότι πολύ κοντά στο 1 ισχύει ότι:

    \[f(x)<0\Leftrightarrow |f(x)| =-f(x)\]

Οπότε

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ -2f(x)+3}{-f(x)\cdot\sqrt{1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{3}{f^{2}(x)}}-f(x)}=\]

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x)\cdot( -2+\dfrac{3}{f(x)})}{f(x)\cdot\Big(-\sqrt{1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{3}{f^{2}(x)}}-1\Big)}=\]

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ -2+\dfrac{3}{f(x)}}{-\sqrt{1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{3}{f^{2}(x)}}-1}=\]

Επειδή \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty τότε

\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2}{f(x)}=\Big(\dfrac{2}{-\infty}\Big) =0,\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3}{f(x)}=\Big(\dfrac{3}{-\infty}\Big)\,\text{και}\, \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3}{f^{2}(x)}=\Big(\dfrac{3}{+\infty}\Big) =0

Τότε το αρχικό όριο γίνεται:

    \begin{align*} &\lim_{x\to 1}\Bigg[ \sqrt{f^{2}(x)-2f(x)+3}+f(x)\Bigg]=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ -2+\dfrac{3}{f(x)}}{-\sqrt{1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{3}{f^{2}(x)}}-1}= \end{align*}

    \[=\frac{ -2+0}{-\sqrt{1-0+0}-1}=\dfrac{-2}{-1-1}=\dfrac{-2}{-2}=1.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *