ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Print Friendly, PDF & Email

Για να υπολογίσουμε το μη πεπερασμένο όριο στο x_{0}\in \rr που περιέχει απόλυτες τιμές, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το πρόσημο των παραστάσεων που είναι μέσα στο απόλυτο λαμβάνοντας υπόψιν

    \[\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = +\infty \quad \text{τότε} \, f(x)>0.\]

    \[\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = -\infty \quad \text{τότε} \, f(x)<0.\]

Παράδειγμα.1.
Δίνεται η συνάρτηση f:\rr\to\rr, για την οποία ισχύει ότι \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) = +\infty. Να υπολογίσετε το όριο

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}} \dfrac{x^{2}-1}{|3-xf(x)|-|f(x)-3|}.\]


Λύση.

Υπολογίζουμε το όριο της κάθε παράστασης που βρίσκεται μέσα στις απόλυτες τιμές ξεχωριστά, δηλαδή:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}}\big(3-xf(x)\big)=\big(3-1\cdot (+\infty)\big) =-\infty.\]

Άρα πολύ κοντά στο 1 ισχύει ότι

    \[3-xf(x)<0\Leftrightarrow | 3-xf(x)|=-\big(3-xf(x)\big).\]

Επίσης

    \[\displaystyle\lim_{x\to 1}}\big(f(x)-3\big)=\Big(+\infty-3\big) =+\infty.\]

Άρα πολύ κοντά στο 1 ισχύει ότι

    \[f(x)-3>0\Leftrightarrow |f(x)-3|=f(x)-3.\]

‘Ετσι το αρχικό όριο γίνεται

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1}{|3-xf(x)|-|f(x)-3|}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1}{-\Big(3-xf(x)\Big)-\Big(f(x)-3\Big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1}{-3+xf(x)-f(x)+3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1^{2}}{xf(x)-f(x)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{(x-1)\cdot (x+1)}{f(x)\cdot(x-1)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x+1}{f(x)}=\Big(\dfrac{2}{+\infty}\Big)=0. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *