ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω οτι έχουμε να υπολογίσουμε ένα σύνθετο όριο απροσδιόριστης μορφής που περιέχει την συνάρτηση f(x). Εάν γνωρίζουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty τότε:

  • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το f(x) στη μεγαλύτερη δύναμη.
  • Στους προσθετέους που δεν υπάρχει κοινος παράγοντας κάνουμε αναγκαστική παραγοντοποίηση και δημιουργούνται κλάσματα της μορφής \dfrac{1}{\big(f(x)\big)^{\nu}}, με \nu \in \mathbb{Ν}^{*}
  • Ισχύουν οι ιδιότητες:


    \text{Αν} \, \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty \quad \text{τότε} \quad \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)}=0 \Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f^{\nu}(x)}=0,\, \nu \in \mathbb{N}^{*}.

        \[\text{Αν} \,  \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=0 \, \text{και} \, f(x)>0 \quad \text{τότε} \quad \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty.\]

        \[\text{Αν} \,  \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=0 \, \text{και} \, f(x)<0 \quad \text{τότε} \quad \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)}=-\infty.\]

    Παράδειγμα.1.

    Δίνεται η συνάρτηση f:\rr \to \rr, για την οποία ισχύει ότι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=-\infty. Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:

        \[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}} \dfrac{f^{2}(x)+4}{f^{3}(x)-2f^{2}(x)+2}.\]

    Λύση

    Έχουμε:

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to x_{0}} \dfrac{f^{2}(x)+4}{f^{3}(x)-2f^{2}(x)+2}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to x_{0}} \dfrac{f^{2}(x)\cdot \bigg(1+\dfrac{4}{f^{2}(x)}\bigg)}{f^{3}(x)\bigg(1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{2}{f^{2}(x)}\bigg)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to x_{0}} \dfrac{ \bigg(1+\dfrac{4}{f^{2}(x)}\bigg)}{f(x)\bigg(1-\dfrac{2}{f(x)}+\dfrac{2}{f^{2}(x)}\bigg)}=\\\\ &\Big(\dfrac{1+0}{-\infty(1-0-0)}\Big)=\Big(\dfrac{1}{-\infty}\Big)=0. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *