ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Αν έχουμε ως δεδομένο το όριο μιας παράστασης που περιέχει τη συνάρτηση f(x) και ζητείται το όριο της f(x) τότε:

  • Θέτουμε την παράσταση g(x).
  •   Λύνουμε την πράσταση ως προς f(x).
  •   Υπολογίζουμε το όριο της f(x) με δεδομένο το όριο της g(x).

Παράδειγμα.1.
Να βρεθει το \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x), όταν \displaystyle\lim_{x\to 1}|x-1|f(x)=4

Λύση
Θέτουμε |x-1|f(x)=g(x) \quad (1.) αφού απο υπόθεση ισχύει \displaystyle\lim_{x\to 1}|x-1|f(x)=4 άρα θα έχουμε και \displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)=4

Λύνουμε την (1.) ως προς f(x) δηλαδή:

|x-1|f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x) =\dfrac{g(x)}{|x-1|} με x\neq 1

Οπότε το ζητούμενο όριο γίνεται

    \begin{align*} &\displaymath\lim_{x\to 1}f(x)=\\\\ &\displaymath\lim_{x\to 1}\dfrac{g(x)}{|x-1|}=\Big(\dfrac{4}{0}\Big) \end{align*}

Επειδή ο παρονομαστής |x-1| είναι θετικός πολύ κοντά στο 1 έχουμε ότι:

    \[\displaymath\lim_{x\to 1}f(x)=\Big(\dfrac{4}{0}\Big)=+\infty.\]

Παράδειγμα.2.
Έστω η συνάρτηση f:\rr \to \rr για τη οποία ισχύει ότι

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(x^{2}f(x)\Bigg)=3.\]

Να υπολογισθούν τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \alph{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } \afa $\,\,\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x)}\quad$ & \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(f(x)\cdot\hm x \cdot \hm 3x\Bigg)$  \\ \end{tabular} \]

Λύση

i) Θέτουμε x^{2}f(x)=g(x) \quad (1.)

Αφού απο υπόθεση ισχύει ότι \displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(x^{2}f(x)\Bigg)=3
άρα απο την (1.) θα ισχύει ότι \displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=3. \quad (2.)

Επιπλέον λύνουμε την (1.) ως προς f(x) οπότε έχουμε

x^{2}f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}} \quad (3.) με x\neq 0.

οπότε για το όριο έχουμε:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{x^{2}}=\Big(\dfrac{3}{0}\Big) \end{align*}

Επειδή ο παρονομαστής x^{2} είναι θετικός πολύ κοντά στο 0 έχουμε ότι:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=\Big(\dfrac{3}{0}}\Big)=+\infty.\]

ii) Έχουμε ότι:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(f(x)\cdot\hm x \cdot \hm 3x\Bigg)\overset{(3.)}{=}\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(\dfrac{g(x)}{x^{2}}\cdot\hm x \cdot \hm 3x\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(\dfrac{g(x)}{x\cdot x}\cdot\hm x \cdot \hm 3x\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(g(x)\cdot\dfrac{\hm x }{x}\cdot \dfrac{\hm 3x}{x}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(g(x)\cdot\dfrac{\hm x }{x}\cdot 3\cdot \dfrac{\hm 3x}{3x}\Bigg)\overset{(2.)}{=} 3\cdot 1\cdot 3\cdot 1 =9. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *