ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Για να βρούμε το όριο \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) όπου η f(x) είναι μια παραμετρική συνάρτηση, υπολογίζουμε το όριο με τους γνωστούς τρόπους και διακρίνουμε περιπτώσεις για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων.

Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\lambda}{x^{2}} για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \lambda \in \mathbb{R}.

Λύση.

Έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\lambda}{x^{2}}= \Big(\dfrac{\lambda}{0}\Big).

Επειδή για τον παρονομαστή ισχύει \displaystyle\lim_{x\to 0}x^{2} =0
και x^{2}>0 πολύ κοντά στο 0, διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Περ.1.
\lambda>0

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\lambda}{x^{2}}= \Big(\dfrac{\lambda}{0}\Big)= +\infty.\]

Περ.2.
\lambda<0

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\lambda}{x^{2}}= \Big(\dfrac{\lambda}{0}\Big)= -\infty.\]

Περ.3.

\lambda=0

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\lambda}{x^{2}}= \Big(\dfrac{\lambda}{0}\Big)= \dfrac{0}{0}.\]

Για ξεπεράσουμε την απροσδιοριστία αντικαθιστούμε στο αρχικό όριο το \lambda=0 και έχουμε:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\lambda}{x^{2}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+0}{x^{2}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{x^{2}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x}=\Big(\dfrac{1}{0}\Big)\\\\ \end{align*}

Για να υπολογίσουμε το τελευταίο όριο πρεπει να πάρουμε περιπτώσεις για το πρόσημο του παρονομαστή δηλαδή:

Για x>0 έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=\Big(\dfrac{1}{0}\Big)=+\infty.

Για x<0 έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x}=\Big(\dfrac{1}{0}\Big)=-\infty.
Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x}, απο κριτήριο πλευρικών ορίων, το αρχικό όριο \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\lambda}{x^{2}} για \lambda =0, δεν υπάρχει.

Παράδειγμα.2.
Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x+\lambda}{x-1} για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \lambda \in \mathbb{R}.

Λύση.

Έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x+\lambda}{x-1}= \Big(\dfrac{1+\lambda}{0}\Big).

Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να διακρίνουμε περιπτωσεις για το πρόσημο του αριθμητή και του παρονομαστή.
Περ.1.
1+\lambda > 0 \Leftrightarrow \lambda >-1.

και Περ.1α. x-1 > 0\Leftrightarrow x> 1.

Τότε \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}= \Big(\dfrac{1+\lambda}{0}\Big)= +\infty

Επίσης Περ.1β. x-1 < 0\Leftrightarrow x< 1.

Τότε \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}= \Big(\dfrac{1+\lambda}{0}\Big)= -\infty,

επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα

    \[\lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}\neq \lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}.\]

Από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι για \lambda >-1 το όριο \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x+\lambda}{x-1} δεν υπάρχει.

Περ.2.
1+\lambda < 0 \Leftrightarrow \lambda <-1.

και Περ.2α. x-1 > 0\Leftrightarrow x> 1.

Τότε \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}= \Big(\dfrac{1+\lambda}{0}\Big)= -\infty

Επίσης Περ.2β. x-1 < 0\Leftrightarrow x< 1.

Τότε \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}= \Big(\dfrac{1+\lambda}{0}\Big)= +\infty,

επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα

    \[\lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}\neq \lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{x+\lambda}{x-1}.\]

Από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι για \lambda <-1 το όριο \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x+\lambda}{x-1} δεν υπάρχει.

Περ.3.
1+\lambda = 0 \Leftrightarrow \lambda =-1.

Το αρχικό όριο γίνεται:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x+\lambda}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x-1}{x-1}=1. \end{align*}

Παράδειγμα.3.
Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \lambda \in \mathbb{R}.

Λύση.

Το όριο γίνεται:

\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} =  \Big(\dfrac{4^{2}-2\cdot\lambda \cdot 4 +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{4\cdot \sqrt{4}-4\cdot \sqrt{4}-2\cdot 4 +8}\Big)=\Big(\dfrac{\lambda^{2}-10\lambda +16}{0}\Big)

Συνεπως για τον υπολογισμό του ορίου θα πρέπει να ξέρουμε το πρόσημο του αριθμητή και το πρόσημο του παρονομαστή.

Για τον αριθμητή\lambda^{2}-10\lambda +16, έχουμε

    \begin{align*} \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ \lambda $       &{\tiny{$ -\infty$}}   &      & $ 2$  &      & $ 8$   &     & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ \lambda^{2}-10\lambda +16 $ &                      & $ +$ & $ 0$   & $ -$ &  $ 0$  &$ +$ &\\ \hline \end{tabular}\\ \end{align*}

Δηλαδή για \lambda^{2}-10\lambda +16>0\Leftrightarrow \lambda <2 \quad \text{ή} \, \lambda>8
ενώ \lambda^{2}-10\lambda +16<0\Leftrightarrow 2<\lambda<8

Στη συνέχεια πρέπει να βρούμε το πρόσημο του παρονομαστή x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8, για το οποίο, πρέπει να τον φέρουμε σε μορφή γινομένου και να κάνουμε πίνακα προσήμων, συνεπώς:

    \begin{align*} &x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8>0\Leftrightarrow \\\\ &\sqrt{x}(x-4)-2(x-4)>0\Leftrightarrow \\\\ &(x-4)(\sqrt{x}-2)>0. \end{align*}

    \begin{align*} \begin{tabular}{|r| l c c c c |r|} \hline $ x $              &{\tiny{$ -\infty$}} &      &$ 4$  &     & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ x-4 $            &                    &$ -$  &$ 0$  &$ +$ &\\ \hline $ \sqrt{x}-2 $     &                    &$ -$  &$ 0$  &$ +$ &\\ \hline \hline $(x-4)(\sqrt{x}-2)$&                    &$+$   &$0$   &$+$  &\\ \hline \end{tabular}\\ \end{align*}

Δηλαδή x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8>0\Leftrightarrow (x-4)(\sqrt{x}-2)>0
πολύ κοντά στο 4
Συνεπώς διακρίνουμε τις παρακάτω 4 περιπτώσεις.

Περ.1.
\lambda^{2}-10\lambda +16>0\Leftrightarrow \lambda <2 \quad \text{ή} \, \lambda>8

\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} =  \Big(\dfrac{\lambda^{2}-10\lambda +16}{0}\Big) =+\infty.

Περ.2.
\lambda^{2}-10\lambda +16<0\Leftrightarrow 2<\lambda <8

\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} =  \Big(\dfrac{\lambda^{2}-10\lambda +16}{0}\Big) =-\infty.

Οι επόμενες περιπτώσεις είναι για \lambda^{2}-10\lambda +16=0\Leftrightarrow \lambda =2 \quad \text{ή} \, \lambda=8

Περ.3.

για \lambda =2

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot 2 \cdot x +2^{2}-2\cdot 2}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-4 \cdot x +4-4}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-4 \cdot x }{(x-4)\cdot (\sqrt{x}-2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x(x-4) }{(x-4)\cdot (\sqrt{x}-2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x }{\sqrt{x}-2}=\Big(\dfrac{4}{0}\Big) \end{align*}

Για το οποίο έχουμε
Περ.3α. αν \sqrt{x}-2>0\Leftrightarrow \sqrt{x}>2\Leftrightarrow x>4
\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} \dfrac{x }{\sqrt{x}-2}=\Big(\dfrac{4}{0}\Big)=+\infty

Περ.3β. αν \sqrt{x}-2<0\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\Leftrightarrow x<4
\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} \dfrac{x }{\sqrt{x}-2}=\Big(\dfrac{4}{0}\Big)=-\infty

Από κριτήριο πλευρικών ορίων, επειδή τα πλευρικά όρια, δεν είναι ίσα \displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} \dfrac{x }{\sqrt{x}-2}\neq\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}\dfrac{x }{\sqrt{x}-2}

Έχουμε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} για \lambda = 2 δεν υπάρχει.

Περ.4.

για \lambda =8

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot 8 \cdot x +8^{2}-2\cdot 8}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-16 \cdot x +64-16}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-16 \cdot x +48}{(x-4)\cdot (\sqrt{x}-2)} \end{align*}

Ο αριθμητής x^{2}-16 \cdot x +48 είναι τριώνυμο με ρίζες το 12 και το 4 και παραγοντοποιήται ως εξής: x^{2}-16 \cdot x +48=(x-4)(x-12)
οπότε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-16 \cdot x +48}{(x-4)\cdot (\sqrt{x}-2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{(x-4)(x-12)}{(x-4)\cdot (\sqrt{x}-2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x-12}{\sqrt{x}-2}=\Big(\dfrac{4-12}{\sqrt{4}-2}\Big)=\Big(\dfrac{-8}{0}\Big) \end{align*}

Για το οποίο έχουμε
Περ.4α. αν \sqrt{x}-2>0\Leftrightarrow \sqrt{x}>2\Leftrightarrow x>4
\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} \dfrac{x-12}{\sqrt{x}-2}=\Big(\dfrac{-8}{0}\Big)=-\infty

Περ.4β. αν \sqrt{x}-2<0\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\Leftrightarrow x<4
\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} \dfrac{x-12}{\sqrt{x}-2}=\Big(\dfrac{-8}{0}\Big)=+\infty

Από κριτήριο πλευρικών ορίων, επειδή τα πλευρικά όρια, δεν είναι ίσα \displaystyle\lim_{x\to 4^{+}} \dfrac{x-12}{\sqrt{x}-2}\neq\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}} \dfrac{x-12}{\sqrt{x}-2}

Έχουμε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8} για \lambda = 8 δεν υπάρχει.

Τελικά

    \[\lim_{x\to 4} \dfrac{x^{2}-2\cdot\lambda \cdot x +\lambda^{2}-2\cdot \lambda}{x\cdot \sqrt{x}-4\cdot \sqrt{x}-2\cdot x +8}=\left\{     \begin{tabular}{ll} 		$+\infty,  \quad  \text{αν} \, \lambda <2 \, \text {ή}\, \lambda >8. $ \\\\ 		$-\infty , \quad  \text{αν} \,2<\lambda <8.$  \\\\                 $ \text{δεν υπάρχει,}$\\                 $ \text{αν} \, \lambda =2 \, \text {ή}\, \lambda =8.$  	\end{tabular} 	\right.\]

Βιβλιογραφία Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *