ΟΡΙΟ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΗΔΕΝ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

Για να υπολογίσουμε ενα όριο της μορφής \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)} με \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=l \neq 0 και\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=0
Tότε βρίσκουμε το πρόσημο της g(x) κοντά στο x_{0}
και το ζητούμενο όριο θα μας κανει +\infty ή -\infty.
Δηλαδή

  •   \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=+\infty στην περίπτωση που l ομόσημο με το πρόσημο της g(x) κοντά στο x_{0}
  • \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=-\infty στην περίπτωση που l ετερόσημο με το πρόσημο της g(x) κοντά στο x_{0}

Στην περίπτωση που η g(x) δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο δεξία και αριστερά του του x_{0} τότε φίαχνουμε πίνακα προσήμων για την g(x) και υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο x_{0}.

Παράδειγμα 1.
Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-2}{x^{2}}.
Λύση
Έχουμε ότι
\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-2}{x^{2}}= \big( \dfrac{-2}{0}\big)

επιπλέον ο παρονομαστής x^{2} > 0 για κάθε x\neq 0, οπότε

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-2}{x^{2}}= \big( \dfrac{-2}{0}\big)=-\infty.

Παράδειγμα 2.
Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{3x^{2}+5}{x^{3}-3x +2}.
Λύση
Έχουμε ότι
\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{3x^{2}+5}{x^{3}-3x +2} = \big(\dfrac{+5}{0}\big).

Για τον παρονομαστή έχουμε:

    \begin{align*} x^{3}-3x +2 =& x^{3}-2x-x +2 =\\ =& x^{3}-x-2x +2 =\\ =& x\cdot (x^{2}-1)-2\cdot (x -1) =\\ =& x\cdot (x-1)\cdot (x+1)-2\cdot (x -1) =\\ =& (x-1)\cdot\big[ x \cdot (x+1)-2\big] =\\ =& (x-1)\cdot( x ^{2}+x-2). \end{align*}

Για το τριώνυμο x ^{2}+x-2 εύκολα βρίσκουμε ότι έχει ρίζες τις x_{1} =1 και x_{2}=-2 οπότε παραγοντοποιήται ως εξής x ^{2}+x-2 =(x-1)\cdot (x+2).
Τελικα ο παρονομαστής γράφεται x^{3}-3x +2=(x-1)\cdot (x-1)\cdot (x+2)\Leftrightarrow x^{3}-3x +2 =(x-1)^{2}\cdot (x+2).

    \begin{align*} \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-2$ & & $ 1$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ (x-1)^{2}$ & &$ +$ & $ |$ & $ +$ &$ 0$ &$ +$&\\ \hline $ x+2 $ & &$ -$ & $ 0$ & $ +$ &$ |$ &$ +$&\\ \hline\hline $x^{3}-3x +2$ & &$ -$ & $ 0$ & $ +$ &$ 0$ &$ +$&\\ \hline \end{tabular}\\ \end{align*}

Από τον παραπάνω πίνακα προσήμων βλέπουμε ότι το x^{3}-3x +2>0 πολύ κοντα στο 1 αφού

για x>1 \Leftrightarrow x^{3}-3x +2>0

αλλα και για -2<x <1 \Rightarrow x^{3}-3x+2 >0.

Τελικά για το ζητούμενο όριο έχουμε: \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{3x^{2}+5}{x^{3}-3x +2} = \big(\dfrac{+5}{0}\big)=+\infty.

Σημείωση το πολυώνυμο x^{3}-3x +2 μπορει να παραγοντοποιηθεί και με τη χρήση του σχήματος HORNER

Παράδειγμα 3.

Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{x-4}.

Λύση

Ισχύει ότι: \displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{x-4}= \big(\dfrac{+9}{0}\big)

Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής x- 4 δεν έχει σταθερό πρόσημο κοντά στο 4 αφού

    \begin{align*} \begin{tabular}{|r| l c c c c |r|} \hline $ x $   &{\tiny{$ -\infty$}}    &      & $ 4$ &     & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ x-4 $ &                      & $ -$ &$ 0$  &$ +$ &\\ \hline \end{tabular}\\ \end{align*}

για x> 4 \Rightarrow x-4 >0 και έχουμε το δεξιό πλευρικο όριο δηλαδή

    \[\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\dfrac{2x+1}{x-4}= \big(\dfrac{+9}{0}\big)=+\infty\]

ενώ για x< 4 \Rightarrow x-4 < 0 και έχουμε το αριστερό πλευρικο όριο δηλαδή

    \[\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}\dfrac{2x+1}{x-4}= \big(\dfrac{+9}{0}\big)= -\infty\]

Συνεπώς επειδή \displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\dfrac{2x+1}{x-4} \neq \displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}\dfrac{2x+1}{x-4}

από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι το όριο \displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{x-4} δεν υπάρχει.

Παράδειγμα 4.

Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-7}{x^{2}-4}.

Λύση
Ισχύει ότι: \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-7}{x^{2}-4}.= \big(\dfrac{-3}{0}\big)

Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής x^{2}- 4 δεν έχει σταθερό πρόσημο κοντά στο 2 αφού

    \begin{align*} \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $       &{\tiny{$ -\infty$}}   &      & $ -2$  &      & $ 2$   &     & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ x^{2}-4 $ &                      & $ +$ & $ 0$   & $ -$ &  $ 0$  &$ +$ &\\ \hline \end{tabular}\\ \end{align*}

για x> 2 \Rightarrow x^{2}-4 >0 και έχουμε το δεξιό πλευρικο όριο δηλαδή

    \[\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{x^{2}-7}{x^{2}-4}= \big(\dfrac{-3}{0}\big)=-\infty\]

ενώ για -2<x< 2 \Rightarrow x^{2}-4 < 0 και έχουμε το αριστερό πλευρικο όριο δηλαδή

    \[\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{x^{2}-7}{x^{2}-4}= \big(\dfrac{-3}{0}\big)= +\infty\]

Συνεπώς επειδή \displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{x^{2}-7}{x^{2}-4}\neq \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{x^{2}-7}{x^{2}-4}

από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι το όριο \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-7}{x^{2}-4} δεν υπάρχει.

Παράδειγμα 5.

Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x}.

Λύση

Ισχύει ότι: \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x} =\big( \dfrac{+1}{0}\big).

Για το \hm x, που είναι στον παρονομαστή, ξέρουμε ότι κοντά στο 0 δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο πράγμα που φαίνεται και απο τη γραφική παράσταση y = \hm x.

Rendered by QuickLaTeX.com

Οπότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις

ΠΕΡ.1.
Αν 0<x< \dfrac{\pi}{2} τότε \hm x >0 οπότε

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x} =\big( \dfrac{+1}{0}\big) = + \infty. \quad (1)\]

ΠΕΡ.2.
Αν -\dfrac{\pi}{2}<x<0 τότε \hm x < 0 οπότε

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x} =\big( \dfrac{+1}{0}\big) = - \infty. \quad (2)\]

Από (1) και (2) τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα μεταξυ τους \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x}\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x}, άρα απο κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε οτι το \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x} δεν υπάρχει.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Δημήτρης Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *