Γ Λυκείου,ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΕΝΑ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ

26 Ιουνίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Print Friendly, PDF & Email

Αν είναι $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) =0$ και $f(x) > 0$ κοντά στο $x_{0},$ τότε

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)} =+\infty$
Αν είναι $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) =0$ και $f(x) < 0$ κοντά στο $x_{0},$ τότε
$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)} =-\infty$

Απο τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτει ότι:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2\nu}} = +\infty \quad \text{για κάθε} \quad \nu \in \mathbb{N}^{*}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{|x|} = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x^{2\nu +1}} = +\infty \quad \text{για κάθε} \quad \nu \in \mathbb{N}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x^{2\nu +1}} = -\infty \quad \text{για κάθε} \quad \nu \in \mathbb{N}$

Δηλαδή το $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2\nu +1}}$ δεν υπάρχει.

Παράδειγμα 1.
Να υπολογίσετε τα όρια:

$\newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l l} \afa $\,\,\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}$ & \afa $\,\,\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{5}}$ & \afa $\,\,\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{|x-2|}$ \\ \end{tabular}$

Λύση
i) Επειδή $x^{2}>0$ πολύ κοντά στο $0,$ έχουμε: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}= +\infty.$

ii) Έχουμε ότι

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x^{5}}= -\infty$ αφού για $x<0$ το $x^{5}<0.$

Επίσης

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x^{5}}= +\infty$ αφού για $x>0$ το $x^{5}>0.$

Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα μεταξύ τους τότε δεν υπάρχει το όριο

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{5}}.$

iii) Επειδή $|x-2 |> 0$ πολύ κοντά στο $2$ έχουμε ότι

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{|x-2|} = + \infty.$

Παράδειγμα 2.
Να υπολογισθεί το όριο $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{x^{2}-6x +9}$

Λύση

Παρατηρούμε ότι $x^{2}-6x +9 =( x-3)^{2}$ για το οποίο ισχύει $(x-3)^{2}>0$ πολύ κοντά στο $3$

Eπομένως έχουμε ότι

$\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{x^{2}-6x +9}=\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{(x-3)^{2}}=+\infty$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά