ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f:\RR\rightarrow\RR για την οποία ισχύει:

    \[\hm^2x\leq f(x)+2x\syn x\leq x^2, \forall x \in \rr\]

Να βρείτε τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } \afa $\,\,\orio{x}{0}{f(x)}\quad$ & \afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)+2x}{x^2}}$  \\ \end{tabular} \]

Λύση

i ) Μας δίνεται η σχέση:

    \[\hm^2x\leq f(x)+2x\syn x\leq x^2 \Leftrihgtarrow\]

    \[\hm^2 x-2x\syn x\leq f(x)\leq x^2-2x\syn x\]

Έχουμε:

    \[\orio{x}{0}{\left(\hm^2 x-2x\syn x\right)}=0\]

και

    \[\orio{x}{0}{\left(x^2-2x\syn x\right)}=0\]

Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\orio{x}{0}{f(x)}=0\]

ii ) Έχουμε ότι:

    \[\hm^2 x-2x\syn x\leq f(x)\leq x^2-2x\syn x\]

Προσθέτουμε το 2x και διαιρούμε με x^2\neq 0 και τα τρία μέλη της σχέσης:

    \[\dfrac{\hm^2 x-2x\syn x+2x}{x^2}\leq \dfrac{f(x)+2x}{x^2}\leq \dfrac{x^2-2x\syn x+2x}{x^2}\]

Έχουμε:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\hm^2x-2x\syn x+2x}{x^2}= \\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg( \dfrac{\hm^{2} x}{x^{2}} - \dfrac{2x\syn x +2x}{x^{2}}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(\left(\dfrac{\hm x}{x}\right)^2-\dfrac{2x(\syn x-1)}{x^{2}}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigg(\left(\dfrac{\hm x}{x}\right)^2-\dfrac{2(\syn x-1)}{x}\Bigg)=\\\\ & 1-0=1 \end{align*}

Επίσης

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-2x\syn x+2x}{x^2}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Big(\dfrac{x^2}{x^{2}}+\dfrac{-2x\syn x+2x}{x^2}\Big)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Big(1+\dfrac{-2x(\syn x-1)}{x^2}\Big)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\Big(1-2\cdot\dfrac{\syn x-1}{x}\Big)=\\\\ &1-0=1 \end{align*}

Από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)+2x}{x^2}}=1\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *