ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f:\RR\rightarrow\RR για την οποία ισχύει

    \[\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)-\hm x}{\sqrt{x+1}-1}}=6\]

Να υπολογίσετε τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l l} \afa $\,\,\orio{x}{0}{f(x)}$ & \afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)}{x}}$ & \afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{xf(x)-\hm^2 x}{\sqrt{x^2+4}-2}}$\\ \end{tabular} \]

Λύση

Γνωρίζουμε ότι \orio{x}{0}{\dfrac{f(x)-\hm x}{\sqrt{x+1}-1}}=6.

Για \sqrt{x+1}-1\neq 0\velos \sqrt{x+1}\neq 1\velos x+1\neq 1\velos x\neq 0.

Θέτουμε

    \[g(x)=\dfrac{f(x)-\hm x}{\sqrt{x+1}-1}\]

Οπότε έχουμε ότι:

    \[\orio{x}{0}{g(x)}=6\]

Επιπλέον έχουμε ότι:

    \begin{align*} &g(x)=\dfrac{f(x)-\hm x}{\sqrt{x+1}-1} \Leftrightarrow\\\\ &g(x) \cdot (\sqrt{x+1}-1) = f(x)-\hm x \Leftrightarrow\\\\ &g(x) \cdot (\sqrt{x+1}-1)+\hm x = f(x).  \quad (1) \end{align*}

Επομένως

    \[\orio{x}{0}{f(x)}=\orio{x}{0}{[(\sqrt{x+1}-1)g(x)+\hm x]}=0\]

ii ) Για x\neq 0 έχουμε:

    \begin{eqnarray*} 			\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)}{x}} &\overset{(1)}{=}& \orio{x}{0}{\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)g(x)+\hm x}{x}}=\\ 			&=& \orio{x}{0}{\left[ \dfrac{(\sqrt{x+1}-1)g(x)}{x}+\dfrac{\hm x}{x}\right] } 		\end{eqnarray*}

Έχουμε οτι:

    \begin{align*} 			&\orio{x}{0}{\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)\cdot g(x)}{x}}\overset{\frac{0}{0}}{=} \\\\                         &\orio{x}{0}{\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)g(x)}{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=\\\\                         & \orio{x}{0}{\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)\cdot (\sqrt{x+1}+1)\cdot g(x)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}=\\\\                         & \orio{x}{0}{\dfrac{(\sqrt{x+1}^{2}-1^{2})\cdot g(x)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}=\\\\ 			& \orio{x}{0}{\dfrac{(x+1-1)\cdot g(x)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}=\\\\ 			& \orio{x}{0}{\dfrac{x\cdot\cdot  g(x)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}=\\\\ 			& \orio{x}{0}{\dfrac{g(x)}{\sqrt{x+1}+1}}= \dfrac{6}{2}=3. 		\end{align*}

Άρα το όριο είναι ίσο με:

    \[\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)}{x}}=\orio{x}{0}{\left[\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)g(x)}{x}+\dfrac{\hm x}{x}\right]}=3+1=4.\]

iii )Έχουμε:

    \begin{align*} & \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{xf(x)-\hm^2 x}{\sqrt{x^2+4}-2} = \\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{xf(x)-\hm^2 x}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{f(x)}{x}-\frac{\hm^2 x}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}} \quad (2) \end{align*}

Όμως έχουμε ότι:

    \begin{align*} 			&\orio{x}{0}{\dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}}\overset{\frac{0}{0}}{=}\\\\ &\orio{x}{0}{\dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+4}+2}{\sqrt{x^2+4}+2}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(\sqrt{x^2+4}-2)\cdot (\sqrt{x^2+4}+2) }{x^2 \cdot(\sqrt{x^2+4}+2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(\sqrt{x^2+4}^{2}-2^{2})}{x^2 \cdot(\sqrt{x^2+4}+2)}=\\\\ &\orio{x}{0}{\dfrac{x^2+4-4}{x^2(\sqrt{x^2+4}+2)}}=\\\\ &\orio{x}{0}{\dfrac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2+4}+2)}}= \\\\ &\orio{x}{0}{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}+2}}=\dfrac{1}{4} 		\end{align*}

Άρα η σχέση (2) γίνεται:

    \[(2)\Rightarrow\orio{x}{0}{\dfrac{\frac{f(x)}{x}-\frac{\hm^2 x}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}}}=\orio{x}{0}{\dfrac{\frac{f(x)}{x}-\left(\frac{\hm x}{x}\right)^2}{\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}}}=\dfrac{4-1}{\frac{1}{4}}=12\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *