ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

Print Friendly, PDF & Email

Όταν σε ένα όριο απροσδιόριστης μορφής \dfrac{0}{0} εμφανίζονται ριζικά

    \[(\sqrt[\kappa]{f(x)}\sqrt[\lambda]{f(x)},\cdots )\]

διαφορετικών τάξεων, αλλά με την ίδια υπόρριζα ποσότητα, τότε θέτουμε:

    \[\sqrt[\rho]{f(x)}=u\]

όπου \rho είναι το Ε.Κ.Π. των τάξεων ριζών.

Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το όριο \orio{x}{2}{\dfrac{\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x-1}-2}{\sqrt[6]{x-1}-1}}.

Λύση

Στο όριο εμφανίζονται ρίζες με την ίδια υπόρριζη ποσότητα και τάξεις 2,3 και 6. Έχουμε Ε.Κ.Π.(2,3,6)=6, οπότε θέτουμε:

    \[u=\sqrt[6]{x-1}\]

Έχουμε:

    \[u_{0}=\orio{x}{2}{\sqrt[6]{x-1}}=\sqrt[6]{2-1}=1\]

Επίσης είναι:

    \[u^3=\sqrt[6]{x-1}^3=\sqrt{x-1}\]

και

    \[u^2=\sqrt[6]{x-1}^2=\sqrt[3]{x-1}\]

Έτσι το όριο γίνεται:

    \begin{eqnarray*} 		\orio{x}{2}{\dfrac{\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x-1}-2}{\sqrt[6]{x-1}-1}} &=& \orio{u}{u_0}{\dfrac{u^3+u^2-2}{u-1}}=\\                                                                                  &=& \orio{u}{1}{\dfrac{u^3+u^2-2}{u-1}}= \bigg(\dfrac{0}{0}\bigg)\\  	\end{eqnarray*}

Για να άρουμε την απροσδιοριστία θα πρεπει να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή, ο οποίος έχει μια ριζα την u =1.
Δηλαδη για το πολυώνυμο u^3+u^2-2 κάνουμε σχήμα Horner με το 1 και έχουμε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνεπώς u^3+u^2-2 = (u-1)(u^2+2u+2)

    \begin{align*}     \displaystyle\lim_{x\to 2}  \dfrac{\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x-1}-2}{\sqrt[6]{x-1}-1}  =& \displaystyle\lim_{u\to 1}\dfrac{u^3+u^2-2}{u-1}\\\\ =&  \displaystyle\lim_{u\to 1}\dfrac{(u-1)\cdot(u^{2}+2u+2)}{u-1}\\\\                                      =&  \displaystyle\lim_{u\to 1}(u^{2}+2u+2)=5.                              \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *