ΟΡΙΟ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Για τον υπολογισμό ορίων της μορφής A = \displaystyle\lim_{x\to x_{0}} f\big(g(x)\big), τότε:

  • Θέτουμε g(x) = u, οπότε \displaystyle \lim_{x\to x_{0}}g(x) = u_{0}.
  • Αν u \neq u_{0} κοντά στο x_{0}, τότε A =\displaystyle\lim_{u \to u_{0}}f(u).

Δηλαδή αντί να υπολογίσουμε το \displaystyle\lim_{x\to x_{0}} f\big(g(x)\big), υπολογίζουμε το (πιθανόν) ευκολότερο \displaystyle\lim_{u \to u_{0}}f(u).


Παράδειγμα.1
Να υπολογίσετε το όριο \orio{x}{0}{\dfrac{\hm 9x}{\hm 3x}}.
Λύση.
Επειδή \displaystyle\lim_{x\to 0}{\dfrac{\hm 9x}{\hm 3x}} = \Big(\dfrac{0}{0}\Big).
Το όριο γίνεται:

    \[\orio{x}{0}{\dfrac{\hm 9x}{\hm 3x}}=\orio{x}{0}{\dfrac{\frac{\hm 9x}{x}}{\frac{\hm 3x}{x}}}=\orio{x}{0}{\dfrac{9\cdot\frac{\hm 9x}{9x}}{3\cdot\frac{\hm 3x}{3x}}}=\dfrac{\orio{x}{0}{9\cdot\frac{\hm 9x}{9x}}}{\orio{x}{0}{3\cdot\frac{\hm 3x}{3x}}}\]

Υπολογισμός του \displaystyle\lim_{x\to 0} 9\cdot\dfrac{\hm 9x}{9x}.

Θέτουμε u=9x οπότε έχουμε:

    \[\orio{x}{0}{9x}=0\]

Δηλαδή όταν το x\to 0 τότε το u \to 0 δηλαδή u_{0} = 0 άρα έχουμε:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0} 9\cdot\dfrac{\hm 9x}{9x} \overset{9x =u}{=} \\\\ &\displaystyle\lim_{u\to u_0} 9\cdot\dfrac{\hm u}{u} \overset{u_{0}= 0}{=}\\\\ & \displaystyle\lim_{u\to 0} 9\cdot\dfrac{\hm u}{u}= 9\cdot 1 =9. \end{align*}

Υπολογισμός του \displaystyle\lim_{x\to 0} 3\cdot\dfrac{\hm 3x}{3x}.

Όμοια θέτουμε u=3x οπότε έχουμε:

    \[\orio{x}{0}{3x}=0\]

Δηλαδή όταν το x\to 0 τότε το u \to 0 δηλαδή u_{0} = 0 άρα έχουμε:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 0} 3\cdot\dfrac{\hm 3x}{3x} \overset{3x =u}{=} \\\\ &\displaystyle\lim_{u\to u_0} 3\cdot\dfrac{\hm u}{u} \overset{u_{0}= 0}{=}\\\\ & \displaystyle\lim_{u\to 0} 3\cdot\dfrac{\hm u}{u}= 3\cdot 1 =3. \end{align*}

Άρα το όριο είναι ίσο με:

    \[\orio{x}{0}{\dfrac{\hm 9x}{\hm 3x}}=\dfrac{9}{3}=3\]

Παράδειγμα.2
Να υπολογιστεί το όριο \orio{x}{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\syn x}{\frac{\pi}{2}-x}}.
Λύση.
Επειδή \displaystyle\lim_{x \to\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\syn x}{\frac{\pi}{2}-x}} = \Big(\dfrac{0}{0}\Big)
για να άρουμε την απροσδιοριστία χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

    \[\syn x = \hm( \frac{\pi}{2}- x).\]

Οπότε έχουμε:

    \[\orio{x}{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\syn x}{\frac{\pi}{2}-x}}=\orio{x}{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\hm(\frac{\pi}{2}-x)}{\frac{\pi}{2}-x}}\]

Θέτουμε:

    \[u=\dfrac{\pi}{2}-x.\]

Είναι:

    \[u_{0}=\orio{x}{\frac{\pi}{2}}{(\dfrac{\pi}{2}-x)}=0\]

Δηλαδή όταν το x\to \frac{\pi}{2} τότε το u \to 0 δηλαδή u_{0} = 0 άρα έχουμε:

    \begin{align*} \orio{x}{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\syn x}{\frac{\pi}{2}-x}}= &\orio{x}{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\hm(\frac{\pi}{2}-x)}{\frac{\pi}{2}-x}}\\\\ =& \displaystyle\lim_{u\to u_{0}} \dfrac{\hm u}{u}\\\\ = & \orio{u}{0}{\dfrac{\hm u}{u}}=1. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Στεργίου – Νάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *