ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω ένα όριο της μορφής:

    \[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))\]

όπου f,g συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:

  • \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}f(x)=0, δηλαδή η f είναι «μηδενική» συνάρτηση.
  • |g(x)|\leq M, όπου M>0, δηλαδή η g είναι μια φραγμένη συνάρτηση.


Τα όρια της παραπάνω μορφής (μηδενική συνάρτηση επί φραγμένη συνάρτηση), υπολογίζονται με τον εξής τρόπο:

    \[|f(x)\cdot g(x)|=|f(x)|\cdot|g(x)|\leq|f(x)|\cdot M\]

οπότε είναι:

    \[|f(x)\cdot g(x)|\leq |f(x)|\cdot M\Leftrightarrow\]

    \[-|f(x)|\cdot M\leq & f(x)\cdot g(x)\leq |f(x)|\cdot M.\]

Όμως ισχύει:

    \[\lim_{x\to x_{o}}(-|f(x)|\cdot M)=\lim_{x\to x_{o}}(|f(x)|\cdot M)=0\]

Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))=0\]

Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το όριο \orio{x}{0}{(x^2+x)\hm \dfrac{1}{x}}

Λύση
Παρατηρούμε οτι: \orio{x}{0}{(x^2+x)}=0
και

    \[-1\leq\hm\dfrac{1}{x}\leq 1\velos |\hm \dfrac{1}{x}|\leq 1 \qquad \text{για κάθε} \quad x\neq0\]

Άρα το \orio{x}{0}{(x^2+x)\hm\dfrac{1}{x}}
είναι όριο «μηδενικής» συνάρτησης επί φραγμένη συνάρτηση και για να το υπολογίσουμε εργαζόμαστε ως εξής:

|(x^2+x)\hm \dfrac{1}{x}|=|x^2+x||\hm \dfrac{1}{x}|\leq |x^2+x| \quad \text{διότι} \quad |\hm\dfrac{1}{x}|\leq 1

Δηλαδή για κάθε x \neq 0 ισχύει:

    \[|(x^2+x)\hm \dfrac{1}{x}| \leq |x^2+x|\velos\]

    \[-|x^2+x|\leq (x^2+x)\hm \dfrac{1}{x} \leq |x^2+x|\]

Όμως ισχύει:

    \[\orio{x}{0}{-|x^2+x|}=0\]

    \[\orio{x}{0}{|x^2+x|}=0\]

Από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\orio{x}{0}{(x^2+x)\hm \dfrac{1}{x}}=0\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

10 thoughts on “ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ”

        1. Εδω δεν εχουμε πλευρικα όρια αρα εδω δεν έχουμε Κριτηριο πλευρικων ορίων.
          Εδω η συνάρτηση της οποίας ψαχνουμε το όριο είναι στο «κέντρο» μιας διπλής διάταξης γιαυτό το λόγο εφαρμοζουμε το κριτήριο Παρβολης

    1. Το ερωτημα ειναι ασαφες αλλα ας υποθέσουμε οτι η απορία σου ειναι για την παρακάτω περίπτωση:
      Αν \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty
      Nα υπολογισθεί το όριο \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\hm f(x)}{x}
      Τότε έχουμε:

          \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\hm f(x)}{x}=\]

          \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}\cdot \hm f(x) = \Big(\dfrac{1}{\infty}\cdot \hm (\infty)\Big) =\Big( 0\cdot \hm (\infty)\Big)\]

      δηλαδη προκύπτει ενα οριο της κατηγορίας «μηδενικη επι φραγμένη» το οποίο το βρίσκουμε με την παραπάνω μεθοδολογία.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *