ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω ένα όριο της μορφής:

    \[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))\]

όπου f,g συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:

  • \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}f(x)=0, δηλαδή η f είναι “μηδενική” συνάρτηση.
  • |g(x)|\leq M, όπου M>0, δηλαδή η g είναι μια φραγμένη συνάρτηση.


Τα όρια της παραπάνω μορφής (μηδενική συνάρτηση επί φραγμένη συνάρτηση), υπολογίζονται με τον εξής τρόπο:

    \[|f(x)\cdot g(x)|=|f(x)|\cdot|g(x)|\leq|f(x)|\cdot M\]

οπότε είναι:

    \[|f(x)\cdot g(x)|\leq |f(x)|\cdot M\Leftrightarrow\]

    \[-|f(x)|\cdot M\leq & f(x)\cdot g(x)\leq |f(x)|\cdot M.\]

Όμως ισχύει:

    \[\lim_{x\to x_{o}}(-|f(x)|\cdot M)=\lim_{x\to x_{o}}(|f(x)|\cdot M)=0\]

Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))=0\]

Παράδειγμα

Να υπολογίσετε το όριο \orio{x}{0}{(x^2+x)\hm \dfrac{1}{x}}

Λύση

ΓΙΑ ΝΑ ΛΥΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ

    \[-\theta \leq x \leq \theta \Leftrightarrow | x| \leq \theta.\]

Ξέρουμε ότι για κάθε x \neq 0 έχουμε:

    \begin{align*} - 1\leq &\hm{\dfrac{1}{x}} \leq 1 \Leftrightarrow \\\\ &\bigg|\hm{\dfrac{1}{x}}\bigg|\leq 1 \end{align*}

πολλαπλασιάζουμε και τα δύo μέλη με \bigg|x^2+x\bigg|\geq 0 και έχουμε:

    \begin{align*} &\bigg|\hm{\dfrac{1}{x}}\bigg|\leq 1 \Leftrightarrow \\\\ &\bigg|x^2+x\bigg|\cdot \bigg|\hm \dfrac{1}{x}\bigg|\leq \bigg|x^2+x\bigg|\cdot 1\Leftrightarrow \\\\ &\bigg|(x^2+x)\cdot\hm \dfrac{1}{x}\bigg|\leq \bigg|x^2+x\bigg|\Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

    \[-\bigg|x^2+x\bigg|\leq (x^2+x)\hm \dfrac{1}{x} \leq \bigg|x^2+x\bigg|\]

Όμως ισχύει:

    \[\orio{x}{0}{-|x^2+x|}=0\]

    \[\orio{x}{0}{|x^2+x|}=0\]

Από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\orio{x}{0}{(x^2+x)\hm \dfrac{1}{x}}=0\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

10 απαντήσεις στο “ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ”

        1. Εδω δεν εχουμε πλευρικα όρια αρα εδω δεν έχουμε Κριτηριο πλευρικων ορίων.
          Εδω η συνάρτηση της οποίας ψαχνουμε το όριο είναι στο “κέντρο” μιας διπλής διάταξης γιαυτό το λόγο εφαρμοζουμε το κριτήριο Παρβολης

    1. Το ερωτημα ειναι ασαφες αλλα ας υποθέσουμε οτι η απορία σου ειναι για την παρακάτω περίπτωση:
      Αν \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty
      Nα υπολογισθεί το όριο \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\hm f(x)}{x}
      Τότε έχουμε:

          \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\hm f(x)}{x}=\]

          \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}\cdot \hm f(x) = \Big(\dfrac{1}{\infty}\cdot \hm (\infty)\Big) =\Big( 0\cdot \hm (\infty)\Big)\]

      δηλαδη προκύπτει ενα οριο της κατηγορίας “μηδενικη επι φραγμένη” το οποίο το βρίσκουμε με την παραπάνω μεθοδολογία.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *