ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \lambda και \mu ώστε να ισχύει

    \[\lim_{x\to -1}\dfrac{2x^2+\lambda x+\mu}{x^2+3x+2}=5.\]


Λύση
Ισχύει οτι

    \[\lim_{x\to -1}\dfrac{2x^2+\lambda x+\mu}{x^2+3x+2}=5\]

Για x^2+3x+2\neq 0\velos (x+2)(x+1)\neq 0\velos x\neq 2 \quad \text{και} \quad x\neq -1

Θέτουμε

    \[f(x)=\dfrac{2x^2+\lambda x+\mu}{x^2+3x+2}\]

Οπότε έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to-1}f(x)=5\]

και

    \[(x^2+3x+2)f(x)=2x^2+\lambda x+\mu\]

Επομένως:

    \begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to -1}(x^2+3x+2)f(x) &=\displaystyle\lim_{x\to -1}(2x^2+\lambda x+ \mu)\Leftrightarrow\\\\ (1-3+2)\cdot 5 &=2-\lambda+\mu \Leftrightarrow\\\\ 0 &=2-\lambda+\mu \Leftrightarrow\\\\ \mu  &= \lambda - 2\qquad (1) \end{align*}

Αντικαθιστούμε το \mu με το \lambda-2 στο αρχικό όριο και έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to -1}\dfrac{2x^2+\lambda x+ \mu}{x^2+3 x +2}=5 \Leftrightarrow\\\\ &\lim_{x\to -1}\dfrac{2x^2+\lambda x+\lambda-2}{x^2+3 x+2}=5 \Leftrightarrow\\\\ &\lim_{x\to -1}\dfrac{2x^2-2 +\lambda x+\lambda}{x^2+3 x+2}=5 \Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x \to -1}\dfrac{2(x^2-1)+\lambda (x+1)}{(x+2)(x+1)}=5 \Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x \to -1}\dfrac{2(x-1)(x+1)+\lambda(x+1)}{(x+2)(x+1)}=5 \Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x \to -1}\dfrac{(x+1)[2(x-1)+\lambda]}{(x+2)(x+1)}=5 \Leftrightarrow\\\\ &\lim_{x \to -1}\dfrac{2(x-1)+\lambda}{x+2}=5 \Leftrightarrow\\\\ &  \dfrac{2(-1-1)+\lambda}{-1+2}=5\Leftrightarrow\\\\ & \dfrac{-4+\lambda}{1}=5\Leftrightarrow\\\\ & \lambda=9 \end{align*}

Άρα από τη σχέση (1) έχουμε ότι:

    \[\mu=9-2\velos\mu=7\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

2 thoughts on “ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ”

  1. Με μία συμπλήρωση. Ότι στο τέλος χρειάζεται επαλήθευση των τιμών για να δούμε αν είναι δεκτές.

    Η παραπάνω λύση είναι αρκετή αν η εκφώνηση αλλάξει σε:
    «Αν το όριο ισούται με 5, να δείξετε ότι λ=9 και μ=7»

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *