ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com


Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f: \rr \to \rr για την οποία ισχύει:

    \[\lim_{x\to 2} \dfrac{f(x)-x}{x^{2}-4}=3.\]

Να βρεθούν τα όρια:
i ) \displaystyle\lim_{x\to 2}f(x).

ii ) \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)+x^{2}-6}{\sqrt{x+2}-2}.

Λύση.

i ) Θέτουμε \dfrac{f(x)-x}{x^{2}-4}=g(x)  \, \text{ με} \quad x\neq \pm 2.

οπότε θα έχουμε και \displaystyle\lim_{x\to 2}g(x) =3 \quad (1)

Άρα

    \begin{align*} &\dfrac{f(x)-x}{x^{2}-4}=g(x)\Leftrightarrow\\\\ &f(x) -x =g(x)\cdot (x^{2} -4)\Leftrightarrow\\\\ &f(x) = g(x)\cdot (x^{2} -4) +x.  \quad (2) \end{align*}

Οπότε για το ζητούμενο όριο έχουμε:

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 2}\big(g(x)\cdot (x^{2} -4) +x \big)\overset{(1)}{\Leftrightarrow}\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 3 \cdot (2^{2} -4) +2  \Leftrightarrow\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 3 \cdot 0+2\Leftrightarrow\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 2. \end{align*}

ii ) Έχουμε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)+x^{2}-6}{\sqrt{x+2}-2}\overset{(2)}{=}\\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{g(x)\cdot (x^{2} -4) +x+x^{2}-6}{\sqrt{x+2}-2} \overset{(\frac{0}{0})}{=} \\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\Big(g(x)\cdot (x^{2} -4) +x^{2}+x-6\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2) \cdot(\sqrt{x+2}+2)} \end{align*}

επειδή το τριώνυμο x^{2}+x-6 έχει ρίζες τις x_{1} =2 και x_{2} =-3, τότε

    \[x^{2}+x-6=(x-2)\cdot (x+3).\]

Οπότε:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\Big(g(x)\cdot (x^{2} -4) +x^{2}+x-6\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2) \cdot(\sqrt{x+2}+2)}=

\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\Big(g(x)\cdot (x^{2} -4) +(x-2)\cdot (x+3)\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}=

\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\Big(g(x)\cdot (x-2)\cdot (x+2) +(x-2)\cdot (x+3)\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)\cdot (\sqrt{x+2}+2)}=

\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)\cdot\Big(g(x)\cdot (x+2) + (x+3)\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2) \cdot(\sqrt{x+2}+2)}=

\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)\cdot\Big(g(x)\cdot (x+2) + (x+3)\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}^{2}-2^{2}}=

\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)\cdot\Big(g(x)\cdot (x+2) + (x+3)\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{x+2-4}}=

\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)\cdot\Big(g(x)\cdot (x+2) + (x+3)\Big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}}=

\displaystyle\lim_{x\to 2}\Big[\big(g(x)\cdot (x+2) + (x+3)\big)\cdot(\sqrt{x+2}+2)\Big]=

\Big(3\cdot(2+2)+(2+3)\Big) \cdot (\sqrt{2+2}+2) =17\cdot 4 =68.

Βιβλιογραφία Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *