ΟΡΙΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο στο x_o μιας συνάρτησης με κλάδους.

  • Αν το x_o, είναι σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια και εφαρμόζουμε το παρακάτω κριτήριο:
  • ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΛΕΥΡΚΩΝ ΟΡΙΩΝ
    Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο (\alpha,x_o)\cup(x_o.\beta), τότε ισχύει η ισοδυναμία

        \[\displaystyle\lim_{x \to x_{0}}f(x)=l \Leftrightarrow\lim_{x \to x_o^{-}}f(x) = \lim_{x \to x_o^{+}}f(x) = l\]

  • Αν το x_o, δεν είναι σημείο που αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης, τότε δεν χρειάζεται να πάρουμε πλευρικά όρια.
  • Παράδειγμα.1
    Δίνεται η συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{x^2-9}{x+3}, \, x<-3$ \\\\ 			$3x+5, \, x\geq -3$  		\end{tabular} 	\right. \]

    Να βρεθoύν, αν υπάρχουν, το όρια \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) και \displaystyle\lim_{x\to -3}f(x)
    Λύση
    i ) Επειδή κοντά στο 0 είναι f(x) = 3x+5 έχουμε:

        \[\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)= \displaystyle\lim_{x\to 0}3x+5=5.\]

    ii )Το x_o=-3 είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της f, οπότε για να βρούμε αν υπάρχει το \displaystyle\lim_{x \to -3}f(x) θα πάρουμε πλευρικά ορια.
    Για x <-3 έχουμε f(x)= \dfrac{x^2-9}{x+3}, οπότε:

        \begin{align*} \displaystyle\lim_{x \to -3^{-}}f(x)  =  &\lim_{x \to -3^{-}}\dfrac{x^2-9}{x+3}\stackrel{\frac{0}{0}}{=}\\\\                                       =  & \lim_{x\to -3^{-}}\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}=\\\\                                       = &  \lim_{x \to -3^{-}}(x-3) =  -6 \end{align*}

    Για x >-3, έχουμεf(x)= 3x+5, οπότε:

        \[\displaystyle\lim_{x\to -3^{+}}f(x) =  \lim_{x \to -3^{+}}(3x+5) 		 =  -4\]

    Παρατηρούμε ότι \displaystyle\lim_{x \to -3^{-}}f(x) \neq \lim_{x \to -3^{+}}f(x)
    Άρα από κριτήριο πλευρικών ορίων το όριο \displaystyle\lim_{x \to -3}f(x) δεν υπάρχει.

      ΠΡΟΣΟΧΗ


    Η συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{x^2-9}{x+3},$  & $x\neq -3$ \\\\ 			$\,\,5, $ & $x= -3$  		\end{tabular} 	\right. \]

    Είναι μια συνάρτηση με κλάδους, αλλά δεν είναι συνάρτηση πολλαπλού τύπου.
    Ένας είναι ο τύπος της συνάρτησης στο \rr -\{-3\}, και στη θέση x=-3 έχει τιμή 5.

    Παράδειγμα.2

    Δίνεται η συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$x^2+\alpha x-3, & $x\leq -1$ \\ 			$-\alpha x-6, &$x>-1$  		\end{tabular} 	\right. \]

    Να βρείτε την τιμή του \alpha\in\rr για την οποία υπάρχει το \displaystyle\lim_{x \to -1}f(x).

    Λύση
    Έχουμε ότι:
    Για x<-1 η f(x) =x^2+\alpha x-3.

        \begin{align*} \displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}f(x)  =  &\lim_{x \to -1^{-}}(x^2+\alpha x-3)\\                                       =& (-1)^{2}+\alpha (-1) -3\\                                       =  &  1-\alpha-3\\                                       =  &  2-\alpha. \end{align*}

    Kαι για x>-1 η f(x) = -\alpha x-6

        \begin{align*} \displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}f(x)  =  &\lim_{x \to -1^{+}}(-\alpha x-6)\\                                       =  &-\alpha (-1) -6\\                                         =  &\alpha -6.  \end{align*}

    Από κριτήριο πλευρικών ορίων το όριο \displaystyle\lim_{x \to -1}f(x) υπάρχει αν και μόνο αν:

        \begin{align*} \lim_{x \to -1^{-}}f(x)&=\lim_{x \to -1^{+}}f(x)\Leftrightarrow \\ -2-\alpha &= \alpha-6\Leftrightarrow\\ -2 \alpha &=-4\\ \alpha &=2. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *