ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com


Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\to\rr για την οποία ισχύει

    \[xf(x)-f(x)\leq x^2+2x-3\]

για κάθε x\in\rr
Αν το \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός,
να βρεθεί το \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x).

Λύση.

Απο υπόθεση το όριο \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, έστω l\in \rr, άρα από το κριτήριο πλευρικών ορίων ισχύει ότι:

    \[\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1}f(x)=l\in \RR\]

Για κάθε x\in\RR ισχύει ότι:

    \begin{align*}  		& xf(x)-f(x) \leq x^2+2x-3 \Leftrightarrow\\\\                 & (x-1)f(x) \leq (x+3)(x-1)\qquad (1) 	\end{align*}

Αν x-1>0\Leftrightarrow x>1, τότε έχουμε ότι:

    \begin{align*} 		(1)\Rightarrow &f(x)\leq\dfrac{(x+3)(x-1)}{x-1}\Leftrightarrow \\\\                                    &f(x)\leq (x+3). 	\end{align*}

Επομένως έχουμε:

    \begin{align*}  		&\lim_{x\to 1^{+}}f(x)\leq \lim_{x\to 1^{+}}(x+3)\Leftrightarrow\\\\                 &\lim_{x \to 1^{+}}f(x)\leq 4\Leftrightarrow\\\\                 & l\leq 4 \qquad (2) 	\end{align*}

Αν x-1<0\Leftrightarrow x<1, τότε έχουμε ότι:

    \begin{align*} 		(1)\Rightarrow & f(x)\geq\dfrac{(x+3)(x-1)}{x-1}\Leftrightarrow\\\\                                & f(x)\geq x-3 	\end{align*}

Επομένως έχουμε:

    \begin{align*}  		&\lim_{x\to 1^{-}}f(x)\geq \lim_{x\to 1^{-}}(x+3)\Leftrightarrow\\\\                 & \lim_{x \to 1^{-}}f(x)\geq 4\Leftrightarrow\\\\                 & l\geq 4 \qquad (3) 	\end{align*}

Από τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε ότι: 4\leq l \leq 4, και επειδη \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=l
έχουμε ότι

    \[4\leq \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\leq 4\]

Δηλαδή

    \[\lim_{x \to 1}f(x)=4.\]

ΣΧΟΛΙΟ
Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο x_{0} και ισχύει f(x)< g(x) κοντά στο x_{0}, τότε

    \[\lim_{x\to x_{0}}f(x)\leq \lim_{x\to x_{0}}g(x).\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *