ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα.1
Να βρείτε αν υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{|x-3|-|x-1|}{x^2-2x}.

Λύση
Παρατηρούμε ότι:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 2}(x-3)=2-3=-1<0\]

Άρα κοντά στο 2 ισχύει ότι:x-3<0 \Leftrightarrow |x-3|=-(x-3).
και

    \[\displaystyle\lim_{x \to 2}(x-1)=2-1=1>0\]

Άρα κοντά στο 2 ισχύει ότι:x-1>0\Leftrightarrow | x-1|=x-1.
Έτσι το όριο γίνεται:

    \begin{align*} 		\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{|x-3|-|x-1|}{x^2-2x}  = &\lim_{x \to 2}\dfrac{-(x-3)-(x-1)}{x^2-2x}\\\\ 		                                                        = & \lim_{x \to 2}\dfrac{-x+3-x+1}{x^2-2x}\\\\ 		                                                        = &  \displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{-2x+4}{x(x-2)}\\\\                                                                         = & \lim_{x \to 2}\dfrac{-2(x-2)}{x(x-2)}\\\\ 		                                                        =  &\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{-2}{x} \\\\                                                                         = & \dfrac{-2}{2} =  -1. 	\end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα.2
Να βρείτε αν υπάρχει το όριο

    \[\lim_{x \to 3}\dfrac{|x-3|+2x-6}{x^2-9}\]

Λύση
Παρατηρούμε οτι:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 3}(x-3)=3-3=0\]

Και

    \[\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{|x-3|+2x-6}{x^2-9} =\Big(\dfrac{0}{0}\Big)\]

Άρα έχουμε:

    \[ 	\begin{tabular}{|r| l c c c  r|}\hline 		$ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $3$ & &{\tiny{$ +\infty$}}\\ \hline 		$x-3$ & &$-$& $0$ &$+$& \\ \hline 	\end{tabular} \]

Παίρνουμε πλευρικά όρια:
Για x<3 \Leftrightarrow x-3<0 \Leftrightarrow | x-3| =-(x-3)
Οπότε:

    \begin{align*} 		\lim_{x \to 3^{-}}f(x)  =& \lim_{x \to 3^{-}}\dfrac{-(x-3)+2x-6}{x^2-9}\\\\ 		                        =& \lim_{x \to 3^{-}}\frac{-x+3+2x-6}{x^2-9}\\\\ 		                        =& \lim_{x \to 3^{-}}\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}\\\\ 		                        =&\lim_{x \to 3^{-}}\dfrac{1}{x+3}\\\\ 		                        =& \dfrac{1}{6}. 	\end{align*}

Ενώ, για x>3\Leftrightarrow x-3>0 \Leftrightarrow | x-3| =x-3
Οπότε:

    \begin{align*} 		\lim_{x \to 3^{+}}f(x) =& \lim_{x \to 3^{+}}\dfrac{(x-3)+2x-6}{x^2-9}\\\\\ 		                       =&\lim_{x \to 3^{+}}\dfrac{x-3+2x-6}{x^2-9}\\\\ 		                       =& \lim_{x \to 3^{+}}\dfrac{3x-9}{(x-3)(x+3)}\\\\ 		                       =&\lim_{x \to 3^{+}}\dfrac{3}{x+3}\\\\ 		                       =&\dfrac{1}{2}. 	\end{align*}

Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά άρα το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *