ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com


Παράδειγμα.1
Δίνεται η συνάρτηση f:\rr\to\rr, για την οποία ισχύει ότι:

    \[2x^2-7x+5\leq f(x)\leq x^2-x-4\]

για κάθε x\in(2,6). Να βρείτε τα όρια

i ) \displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)

ii ) \displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-2}{x-3}

Λύση.

Για κάθε x\in(2,6) ισχύει ότι 2x^2-7x+5\leq f(x)\leq x^2-x-4\qquad (1).
Έχουμε:

    \[\lim_{x\to 3}(2x^2-7x+5)=2\cdot9-21+5=2\]

και

    \[\lim_{x\to 3}(x^2-x-4)=9-3-4=2\]

Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to 3}f(x)=2\]

ii )Η σχέση (1) γίνεται:

    \begin{align*} 		&2x^2-7x+5\leq f(x)\leq x^2-x-4\Leftrightarrow\\\\ &2x^2-7x+5-2\leq f(x)-2\leq x^2-x-4-2\Leftrightarrow\\\\ &2x^2-7x+3\leq f(x)-2\leq x^2-x-6 \qquad (2) 	\end{align*}

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Αν x-3>0\velos x>3, τότε:

    \[(2)\Rightarrow\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}\leq \dfrac{f(x)-2}{x-3}\leq\dfrac{x^2-x-6}{x-3}\]

Όμως έχουμε:

    \begin{align*} 		&\displaystyle\lim_{x\to3^{+}}\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{+}}\dfrac{2(x-3)(x-\dfrac{1}{2})}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{+}}2(x-\dfrac{1}{2})=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}(2x-1)=5. 	\end{align*}

και

    \begin{align*} 		&\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}(x+2)=5\\\\ 	\end{align*}

Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι:

    \[\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5\]

Αν x-3<0\velos x<3, τότε:

    \[(2)\Rightarrow\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}\geq \dfrac{f(x)-2}{x-3}\geq\dfrac{x^2-x-6}{x-3}\]

Όμως έχουμε:

    \begin{align*} 		&\displaystyle\lim_{x\to3^{-}}\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{-}}\dfrac{2(x-3)(x-\dfrac{1}{2})}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{-}}2(x-\dfrac{1}{2})=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}(2x-1)=5\\\\ 	\end{align*}

και

    \begin{align*} 		&\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}(x+2)=5\\\\ 	\end{align*}

Απο το κριτήριο παρεμβολής έχουμε

    \[\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5\]

Απ’ο κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε:

    \[\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5,\]

άρα ισχύει

    \[\lim_{x\to 3}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα.2

Δίνεται η συνάρτηση f:\rr\to\rr^{*} για την οποία ισχύει:

    \[\Big| \frac{f(x)-3}{x} \Big|\leq 2.\]

Να βρεθεί το \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x).

Λύση.
Για κάθε x\neq 0 ισχύει ότι:

    \begin{align*} &\Big| \frac{f(x)-3}{x} \Big|\leq 2 \Leftrightarrow\\\\ & \frac{|f(x)-3|}{|x|} \leq 2 \Leftrightarrow\\\\ & |f(x)-3| \leq 2|x| \Leftrightarrow\\\\  -2|x|\leq & f(x)-3 \leq 2|x| \Leftrightarrow\\\\ -2|x|+3\leq &f(x)-3+3 \leq 2|x|+3 \Leftrightarrow\\\\ -2|x|+3\leq &f(x) \leq 2|x|+3 \Leftrightarrow \end{align*}

Έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to 0}( -2|x|+3)=3\]

και

    \[\lim_{x\to 0}( 2|x|+3)=3\]

οπότε απο κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

    \[\lim_{x\to 0} f(x)=3.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *