ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{P(x)}{Q(x)} το όριο μιας ρητής συνάρτησης
(με P(x) και Q(x) πολυώνυμα.)
Αν θέσουμε όπου x το x_{o} και προκύψει απροσδιόριστη μορφή \dfrac{0}{0}, τότε για να υπολογίσουμε το όριο εργαζόμαστε ως εξής:

  • Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή, ώστε να εμφανίσουμε ως παράγοντα το x-x_{o}.
  • Απλοποιούμε τον παράγοντα x-x_{o}.
  • Αν θέσουμε όπου x το x_{o} και προκύψει πάλι μορφή \dfrac{0}{0}, τότε επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα.
  • Παράδειγμα.1
    Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}
    Λύση
    Παρατηρούμε ότι:

        \[\lim_{x \to 2}(x^2-4)=2^2-4=4-4=0\]

    και

        \[\lim_{x \to 2}(x-2)=2-2=0\]

    Άρα το ζητούμενο όριο είναι της μορφής \dfrac{0}{0}. Για να το υπολογίσουμε πρέπει να παραγοντοιποιήσουμε τον αριθμητή. Έτσι έχουμε:

        \[x^2-4=(x-2)(x+2)\]

    Άρα το ζητούμενο όριο γίνεται:

        \begin{align*} \displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2} = &\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}\\                                               =& \displaystyle\lim_{x \to 2}(x+2)\\                                               =& 2+2 =4. \end{align*}

    Παράδειγμα.2
    Να βρεθεί το όριο \displaystyle\lim_{x \to -1}\Bigg(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x^2-1}\Bigg)

    Λύση
    Επειδή για x=-1 μηδενίζονται οι παρονομαστές των κλασμάτων, εκτελούμε τις πράξεις.

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x \to -1}\Bigg(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x^2-1}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to -1}\Bigg(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to -1}\Bigg(\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to -1}\dfrac{x-1+2}{(x-1)(x+1)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to -1}\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to -1}\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{-1-1}=-\dfrac{1}{2}. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Μπάρλας, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *