ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Αν για την συνάρτηση ισχύει:

    \begin{displaymath} 		       f(x\cdot y) = f(x) +f(y), \quad x,y \in \mathbb{R^{*}} 		      \end{displaymath}

Να δείξετε ότι:

i) f(1) =0

ii) f\bigg(\dfrac{1}{x}\bigg) = -f(x)

iii) f\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg) = f(x) -f(y)

iv)Αν επιπλέον η f(x) =0 \, ισχύει μόνο για \, x =1 \, τότε η f \, είναι 1-1.

Λύση
i) Αφού απο υπόθεση ισχύει για κάθε x,y \in \mathbb{R^*}

    \[f(x\cdot y) = f(x) +f(y)\]

τότε θα ισχύει και για x=y=1 δηλαδη έχουμε:

    \begin{align*} 			     &f(1\cdot 1)=f(1)+f(1) \Leftrightarrow\\\\                              &f(1) =2 f(1)\Leftrightarrow\\\\                              &f(1) -2 f(1)=0\Leftrightarrow\\\\                              &-f(1)=0\Leftrightarrow\\\\                              &f(1) =0. 			\end{align*}

ii)Αφού απο υπόθεση ισχύει για κάθε x,y \in \mathbb{R^*}

    \[f(x\cdot y) = f(x) +f(y)\]

τότε θα ισχύει και για y=\dfrac{1}{x} δηλαδη έχουμε:

    \begin{align*}  &f(x\cdot\frac{1}{x})=f(x)+f(\frac{1}{x}) \Leftrightarrow \\\\ &f(1) =f(x)+f\big(\frac{1}{x}\big)\overset{f(1) = 0}{\Leftrightarrow}\\\\ & 0=f(x) +f\big(\frac{1}{x}\big) \Leftrightarrow\\\\ &f\big(\frac{1}{x}\big) = -f(x).													  \end{align*}

iii)Αφού απο υπόθεση ισχύει για κάθε x,y \in \mathbb{R^*}

    \[f(x\cdot y) = f(x) +f(y)\]

τότε θα ισχύει και για y=\dfrac{1}{y} δηλαδη έχουμε:

    \begin{displaymath} 		    f\bigg( x\cdot \frac{1}{y} \bigg) = f(x) + f\bigg(\frac{1}{y}\bigg)							       							    \end{displaymath}

απο το δεύτερο ερώτημα προκύπτει ότι f \bigg( \dfrac{1}{y}\bigg) = -f(y)

Συνεπώς

    \[f\bigg( x\cdot \dfrac{1}{y} \bigg) = f(x) - f(y) \Leftrightarrow f\bigg(  \dfrac{x}{y} \bigg)= f(x) - f(y).\]

iv) Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f}=\mathbb{R^*} με f(x_{1}) = f(x_{2}), θα δείξουμε ότι x_{1}=x_{2}.
Οπότε έχουμε:

    \begin{align*} &f(x_{1}) = f(x_{2})\Leftrightarrow\\\\ & f(x_{1}) - f(x_{2}) = 0 \end{align*}

Από το δεύτερο ερώτημα μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι ισχύει: -f(x_{2})=f\bigg(\dfrac{1}{x_{2}}\bigg),
οπότε έχουμε:

    \begin{align*} & f(x_{1}) - f(x_{2}) = 0 \Leftrightarrow\\\\ &f(x_{1}) +f\bigg(\dfrac{1}{x_{2}}\bigg)=0. \end{align*}

Από υπόθεση για κάθε x,y\in\mathbb{R^{*}} ισχύει f(x\cdot y) = f(x) +f(y)
οπότε:

    \begin{align*} &f(x_{1}) +f(\dfrac{1}{x_{2}})=0 \Leftrightarrow\\\\ &f\Big(x_{1}\cdot \dfrac{1}{x_{2}}\Big)= 0\Leftrightarrow\\\\ &f\Big(\dfrac{x_{1}}{x_{2}}\Big)= 0. \end{align*}

Απο υπόθεση έχουμε f(x)=0 μόνο όταν x=1
οπότε:

    \begin{align*} &f\Big(\dfrac{x_{1}}{x_{2}}\Big)= 0\Leftrightarrow\\\\ &\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=1\Leftrightarrow\\\\ &x_{1}=x_{2}. \end{align*}

Άρα η f είναι 1-1.

Βιβλιογραφία: Λουκόπουλος εκδόσεις, Εν Δυνάμει.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *