ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Ισχύουν:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:

        \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:

        \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.
  • Rendered by QuickLaTeX.com

  • Rendered by QuickLaTeX.com

  • Παράδειγμα

    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=-x^3-x+12.

    i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

    ii) Να λύσετε την ανίσωση f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big) < 1.

    Λύση
    i) Θα μελετήσουμε την f ως προς τη μονοτονία, με τη χρήση του ορισμού.
    Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f}=\mathbb{R}. Έχουμε:

        \begin{align*} 			&x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow \\\\                         &x_{1}^{3}<x_{2}^{3} \Leftrightarrow\\\\                          -&x_{1}^{3}>-x_{2}^{3}. \quad (1.)\\ 			\end{align*}

    Επίσης έχουμε:

        \begin{align*} &x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow \\\\ -&x_{1}>-x_{2} \Leftrightarrow\\\\  -&x_{1}+12>-x_{2}+12. \quad (2.) \end{align*}

    Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισώσεις (1.) και (2.) έχουμε:

        \[-x_{1}^{3}-x_{1}+12>-x_{2}^{3}-x_{2}+12\Leftrightarrow f(x_{1})>f(x_{2})\]

    Άρα η f είναι γνησίως μονότονη, ως γνησίως φθίνουσα, οπότε είναι 1-1, δηλαδή είναι αντιστρέψιμη.
    ii)Η ανίσωση f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big) < 1 γίνεται:

        \begin{align*} 			&f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big) < 1 \stackrel{f\,\downarrow}{\Leftrightarrow}\\\\                         &f \bigg(f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big)\bigg) < f(1)\Leftrightarrow \\\\ 			&f(|x|-1)+8 < 10\Leftrightarrow \\\\                         &f(|x|-1) < 10 -8\Leftrightarrow \\\\                         &f(|x|-1) < 2.  \end{align*}

    Αφού f(x)=-x^3-x+12, παρατηρουμε ότι για x =2 έχουμε f(2)=2. Oπότε:

        \begin{align*}                   &f(|x|-1) < 2 \Leftrightarrow \\\\                & f(|x|-1) < f(2) \stackrel{f\,\downarrow}{\Leftrightarrow}\\\\ 	       &|x|-1<2\Leftrightarrow |x|<3 \Leftrightarrow -3<x<3. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Μαστακας, Γαρατζιωτης εκδόσεις Κερδος.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *