ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Επίλυση της εξίσωσης {\bf{ f^{^{-1}}(x) =f(x),}} στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Ισχύει ότι:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:
  •     \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:
  •     \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

  • Παράδειγμα
    Δίνεται η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} η οποία είναι γνησίως αυξουσα. Να αποδειχθεί ότι

        \begin{displaymath}    f^{-1}(x) =f (x)\Leftrightarrow f(x) = x \end{displaymath}

    Λύση
    Θα αποδείξουμε πρώτα ότι από f^{-1}(x) =f (x)\Rightarrow f(x) = x.
    Έστω ότι το x_{0} είναι ρίζα της f^{-1}(x) =f (x) τότε f^{-1}(x_{0}) =f (x_{0}).
    Άρα

        \begin{align*} &f^{-1}(x_{0}) =f (x_{0})\Rightarrow \\\\ &f\big(f^{-1}(x_{0})\big) = f\big(f (x_{0})\big)\Rightarrow \\\\ & x_{0} =f\big(f (x_{0})\big) \quad(1)  \end{align*}

    Ας υποθέσουμε τωρα ότι το x_{0} δεν είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) =x οπότε αφου f (x_{0}) \neq x_{0}, τότε θα ισχύει f (x_{0}) < x_{0} \, ή \, f (x_{0}) >  x_{0}
    Περίπτωση 1.

    Έστω f (x_{0}) < x_{0} \, τότε αφού η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε:

        \begin{align*} &f (x_{0}) < x_{0} \overset{f \,\uparrow}\Rightarrow \\\\ &f\big( f(x_{0})\big) < f(x_{0})   \overset{\scriptstyle{f\big(f (x_{0})\big)=x_{0}}}{\X\Longrightarrow } \\\\ &x_{0}  < f(x_{0})  \end{align*}

    άτοπο αφού αρχικά υποθέσαμε f (x_{0}) < x_{0}.
    Περίπτωση 2.

    Έστω f (x_{0}) > x_{0} \, τότε αφού η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε:

        \begin{align*} &f (x_{0}) > x_{0} \overset{f \,\uparrow}\Rightarrow \\\\ &f\big( f(x_{0})\big) > f(x_{0})   \overset{\scriptscriptstyle{f\big(f (x_{0})\big)=x_{0}}}{\X\Longrightarrow } \\\\ &x_{0}  > f(x_{0})  \end{align*}

    άτοπο αφού αρχικά υποθέσαμε f (x_{0}) >x_{0}.

    Τελικά απο περίπτωση 1 και 2 έχουμε ότι δεν μπορεί να ισχύει f (x_{0}) < x_{0} \, ή \, f (x_{0}) >  x_{0} τότε f(x_{0}) = x_{0}

    Συνεπώς αν το x_{0} είναι ρίζα της f^{-1}(x) =f (x) τότε ειναι και της f(x) = x δηλαδή, για κάθε γνησίως αύξουσα συναρτηση f, ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[f^{-1}(x) =f (x)\Rightarrow f(x) = x.\]

    Θα αποδείξουμε τώρα το αντίστροφο.
    Δηλαδη αν f(x) = x τότε f^{-1}(x) =f (x)
    Έστω ότι το x_{0} είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = x τότε
    f(x_{0}) = x_{0}\Rightarrow f^{-1}\big(f(x_{0})\big) =f^{-1}(x_{0}) \Rightarrow x_{0} = f^{-1}(x_{0})
    δηλαδή έχουμε :

        \begin{align*} \left\{     \begin{tabular}{ll} 		$f(x_{0}) = x_{0}$ \\\\ 		$f^{-1}(x_{0})= x_{0}$  	\end{tabular} 	\right. 		\end{align*}

    οπότε και f(x_{0}) = f^{-1}(x_{0}).
    Συνεπώς αν το x_{0} είναι ρίζα της f(x) = x τότε ειναι και της f^{-1}(x) =f (x) δηλαδή, για κάθε γνησίως αύξουσα συναρτηση f, ισχύει η συνεπαγωγή:

        \begin{displaymath}   f(x) = x \Rightarrow f^{-1}(x) =f (x)  \end{displaymath}

    Τελικα για κάθε γνησιως αυξουσα συνάρτηση ισχύει η ισοδυναμία

        \[f^{-1}(x) =f (x)\Leftrightarrow f(x) = x.\]

    Γενικότερα, έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μια 1-1 συνάρτηση οπότε ορίζεται η αντίστροφη f^{-1}. Αποδείξαμε ότι αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις f(x)=f^{-1}(x),\,  f(x)=x και f^{-1}(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

        \[f^{-1}(x)=f(x)\Leftrightarrow f(x)=x \Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.\]

    Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων C_{f} και C_{f^{-1}}, είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της C_{f} με την y=x ή της C_{f^{-1}} με την y=x.

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις f(x)=f^{-1}(x) και f(x)=x δεν είναι ισοδύναμες. Μπορεί δηλαδή να υπάρχουν σημεία τομής των C_{f} και C_{f^{-1}} που δεν ανήκουν στην ευθεία y=x.
    Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x) =\dfrac{1}{x} έχει πεδίο ορισμού το A_{f} =\mathbb{R}^{*} και είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα
    A_{1} =(-\infty, 0) και A_{2}=(0,+\infty). Αρα σε κάθε ένα απο αυτα τα διαστήματα είναι και 1-1 συνάρτηση οπότε ορίζεται και η αντίστροφος. Έυκολα βρίσκουμε ότι f^{^{-1}}(x) =\dfrac{1}{x}. Απο την παρακάτω γραφική απεικόνιση βλέπουμε ότι υπάρχουν σημεία τομής των C_{f} και C_{f^{-1}} που δεν ανήκουν στην ευθεία y=x.

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Παράδειγμα

    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^{x-2}+x-1
    i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.
    ii) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των f και f^{-1}.
    Λύση
    i)Το πεδίο ορισμού της f(x)=e^{x-2}+x-1 είναι το A_{f}=\mathbb{R}. Θα μελετήσουμε την f ως προς τη μονοτονία.
    Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f}=\mathbb{R} με x_{1}<x_{2}.
    Έχουμε:
    x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow x_{1}-2<x_{2}-2 \Leftrightarrow e^{x_{1}-2}<e^{x_{2}-2} \quad (1)
    Προσθέτοντας, κατά μέλη στην (1), την σχέση x_{1}<x_{2}, έχουμε:

        \begin{align*} &e^{x_{1}-2}<e^{x_{2}-2}\Leftrightarrow\\ &e^{x_{1}-2}+x_{1}<e^{x_{1}-2}+x_{2}\Leftrightarrow\\ &e^{x_{1}-2}+x_{1}-1<e^{x_{1}-2}+x_{2}-1\Leftrightarrow \\ &f(x_{1})<f(x_{2}) \end{align*}

    Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο A_{f}=\mathbb{R} οπότε είναι 1-1, δηλαδή αντιστρέψιμη.

    ii) Η C_{f} με y=f(x) τέμνει την C_{f^{-1}} με y =f^{^{-1}}(x) όταν

        \begin{align*} 			&f^{-1}(x)=f(x) \stackrel{f\uparrow}{\Leftrightarrow}\\                          &f(x)=x\Leftrightarrow \\                         &e^{x-2}+x-1=x\Leftrightarrow\\ 			&e^{x-2}=1\Leftrightarrow \\                         &e^{x-2}=e^{0}\Leftrightarrow\\                         &x-2=0 \Leftrightarrow x=2 		\end{align*}

    Αφου η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο A_{f}=\mathbb{R} τότε η C_{f} και C_{f^{-1}} τέμνονται πάνω στην ευθεία (\epsilon): y =x οπότε για x=2 το σημείο τομής είναι το A(2,2).

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Λουκόπουλος εκδόσεις Εν Δυνάμει.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *