ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη f^{-1}. Επειδή οι γραφικές παραστάσεις C_{f} και C_{f^{-1}} είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x, προκύπτει ότι οι εξισώσεις f(x)=x και f^{-1}(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

    \[f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=-x^3-x+12.

i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

ii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f^{-1} με την ευθεία y=x.

Λύση

Το πεδίο ορισμού της f(x)=-x^3-x+12 είναι το A_{f}=\mathbb{R}. Θα εξετάσουμε αν η f είναι συνάρτηση 1-1, με τη χρήση του ορισμού.
Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f}=\mathbb{R}, με x_{1}\neq x_{2}, Έχουμε:

    \begin{align*} &x_{1} \neq x_{2}\Rightarrow \\\\ &x_{1}^{3}\neq x_{2}^{3} \Rightarrow\\\\ -&x_{1}^{3}\neq-x_{2}^{3}. \quad (1.)\\ \end{align*}

Επίσης έχουμε:

    \begin{align*} &x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow\\\\ -&x_{1}\neq -x_{2} \Rightarrow\\\\ -&x_{1}+12\neq-x_{2}+12. \quad (2.) \end{align*}

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισώσεις (1.) και (2.) έχουμε:

    \[-x_{1}^{3}-x_{1}+12\neq-x_{2}^{3}-x_{2}+12\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})\]

Άρα η f είναι 1-1, δηλαδή είναι και αντιστρέψιμη.

ii) H C_{f^{^{-1}}} με εξίσωση y= f^{^{-1}}(x) τέμνει την ευθεία (\epsilon):y=x όταν

    \[f^{^{-1}}(x)=x\]

Απο την οποία προκύπτει η ισοδύναμη εξίσωση:

    \begin{align*} &f^{-1}(x)=x\Leftrightarrow f(x)=x \Leftrightarrow\\ & -x^{3}-x+12=x \Leftrightarrow \\ & -x^{3}-x-x+12=0 \Leftrightarrow \\ & -x^{3}-2x+12=0. \end{align*}

Για την τελευταία κάνουμε σχήμα Horner με το 2 και έχουμε:

Rendered by QuickLaTeX.com

οπότε:

    \begin{align*} & -x^{3}-2x+12=0 \Leftrightarrow \\ &(x-2)(-x^2-2x-6)=0\Leftrightarrow \\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x-2= 0$ \\\\ $-x^2-2x-6= 0$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x=2.$ \\\\ $x^2+2x+6= 0$ \end{tabular} \right. \end{align*}

απο την οποία έχουμε μόνο x=2, αφου το τριώνυμο x^2+2x+6= 0 έχει αρνητική διακρίνουσα \Delta =-20 και δεν έχει λύσεις.
Αφού αναζητάμε το κοινό σημείο τομης των C_{f^{-1}} και της ευθείας (\epsilon):y=x, απο τον τύπο της (\epsilon) για x=2 έχουμε y=2
Άρα η C_{f^{-1}} και η ευθεία (\epsilon):y=x τέμνονται στο σημείο A(2,2).

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *