ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
  • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y.
  • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
  • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.
  • Παράδειγμα.

    Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}.

    Λύση

    Η συνάρτηση f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1} ορίζεται όταν:

        \[x+1\neq 0 \Leftrightarrow  x\neq -1\]

    Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο:

        \[A_{f}=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace\]

    Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f} με f(x_{1})=f(x_{2}). Έχουμε:

        \begin{align*} 		f(x_{1})&=f(x_{2})\Leftrightarrow\\\\                 \frac{3x_{1}-2}{x_{1}+1}&=\frac{3x_{2}-2}{x_{2}+1}\Leftrightarrow\\\\                 (3x_{1}-2)\cdot (x_{2}+1) &= (3x_{2}-2)\cdot (x_{1}+1)\Leftrightarrow\\\\ 		3x_{1}x_{2}+3x_{1}-2x_{2}-2&=3x_{1}x_{2}+3x_{2}-2x_{1}-2\Leftrightarrow\\\\                    3x_{1}-2x_{2} &=3x_{2}-2x_{1}\Leftrightarrow\\\\                  3x_{1}+2x_{1}&=3x_{2}+2x_{2}\Leftrightarrow\\\\                   5x_{1} &=5x_{2}\Leftrightarrow\\\\ 		 x_{1}&=x_{2} 	\end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι 1-1, οπότε είναι αντιστρέψιμη, οπότε έχουμε:

        \begin{displaymath}                             \begin{tabular}{|c|} 					\hline								     					    $f(x)=y$  \\                                            					    $ x = f^{^{-1}}(y).$\\                                           \hline                                         						\end{tabular}                                              \end{displaymath}

    δηλαδή

        \begin{align*} 		&f(x)=y\Leftrightarrow \\\\                 &\frac{3x-2}{x+1}=y\Leftrightarrow \\\\                 &3x-2= (x+1)\cdot y\Leftrightarrow \\\\ 		& 3x-2=yx+y \Leftrightarrow\\\\                 &3x-yx =2+y \Leftrightarrow\\\\                 &x\cdot(3-y) =2+y \Leftrightarrow\\\\ & x=\dfrac{2+y}{3-y}   \quad \quad \mu\epsilon  \quad 3-y \neq 0  	\end{align*}

    Επειδή x =f^{^{-1}}(y) έχουμε ότι f^{^{-1}}(y)= \dfrac{2+y}{3-y}.
    Για να ορισθεί πλήρως η f^{^{-1}} πρέπει να βρούμε και το πεδίο ορισμου της, λαμβάνοντας υπόψιν τους παρακάτω περιορισμούς:

    3-y \neq 0 και x \in A_{f}=\mathbb{R}-\{-1\}.
    Επειδή έχουμε βρει x=\dfrac{2+y}{3-y} τότε:

        \begin{align*}                    &x \in A_{f}=\mathbb{R}-\{-1\}\Leftrightarrow \\\\                    & x\neq -1\Leftrightarrow \\\\                    &\dfrac{2+y}{3-y}\neq -1\Leftrightarrow \\\\                    &2+y \neq (3-y)\cdot(-1)\Leftrightarrow \\\\                    &2+y \neq -3 +y\Leftrightarrow \\\\                    &2 \neq -3.                  \end{align*}

    Που ισχύει άρα αρκεί μονο να ισχύει 3-y \neq 0\Leftrightarrow  y \neq 3
    και τελικα για την f^{^{-1}} έχουμε:

        \[A_{f^{-1}}=\mathbb{R}-\lbrace 3\rbrace\]

    και τύπο

        \[f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3-x}.\]

    Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις 2^{\text{ου}} βαθμού, με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}, δεν είναι αντιστρέψιμες. Όμως αν έχουν πεδίο ορισμού κατάλληλο διάστημα μπορεί να είναι 1-1.

    Παράδειγμα.2
    Δίνεται η συνάρτηση f:[2,+\infty)\rightarrow\mathbb{R} με f(x)=x^2-4x+5

    i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

    ii) Να βρείτε την f^{-1}.
    Λύση
    i) Παρατηρούμε ότι:

        \begin{align*} &f(x)=x^2-4x+5\Leftrightarrow\\ &f(x)=x^2-4x+4+1\Leftrightarrow\\ &f(x)=(x-2)^2-1\Leftrightarrow\\ & f(x)=(x-2)^2-1. \end{align*}

    Έστω x_{1},x_{2}\in[2,+\infty) με f(x_{1})=f(x_{2}). Έχουμε:

        \begin{align*} 			&f(x_1)=f(x_2)\Rrightarrow\\                         &(x_1-2)^2+1=(x_2-2)^2+1\Rightarrow\\ 			&(x_1-2)^2=(x_2-2)^2\Rightarrow\\                         &\sqrt{(x_1-2)^2}=\sqrt{(x_2-2)^2}\Rightarrow\\ 			&|x_1-2|=|x_2-2|\stackrel{^{x_1,x_2>2}}{\Rightarrow}\\ 			&x_1-2=x_2-2\Rightarrow\\                         & x_1=x_2 		\end{align*}

    Άρα η f είναι 1-1, οπότε είναι αντιστρέψιμη.
    ii) Αφού η f είναι αντιστρέψιμη θα ισχύει:

        \begin{displaymath}                             \begin{tabular}{|c|} 					\hline								     					    $f(x)=y$  \\                                            					    $ x = f^{^{-1}}(y).$\\                                           \hline                                         						\end{tabular}                                              \end{displaymath}

    Δηλαδή:

        \begin{align*}                    &f(x)=y\Leftrightarrow\\                    &(x-2)^2+1 = y \Leftrightarrow\\                    &(x-2)^2=y-1 \Leftrightarrow \quad \mu\epsilon \quad y-1\geq 0\\                      & \sqrt{(x-2)^2}=\sqrt{y-1}  \Leftrightarrow\\                    &|x-2|=\sqrt{y-1} \stackrel{^{x\geq 2}}{\Leftrightarrow}\\                    &x-2=\sqrt{y-1} \Leftrightarrow\\                    &x=\sqrt{y-1}+2.                            \end{align*}

    Αφού είναι x = f^{^{-1}}(y) τότε f^{^{-1}}(y)=\sqrt{y-1}+2.
    Για να βρούμε το πεδίο ορισμου πρέπει να λάβουμε υπόψιν τους παρακατω περιοσρισμούς
    y-1\geq 0\Leftrightarrow y\geq 1
    και x\in A_{f}=[2,+\infty) με x=\sqrt{y-1}+2. δηλαδή

        \begin{align*}                   &x\in A_{f}=[2,+\infty)\Leftrightarrow\\                   &x\geq 2 \Leftrightarrow\\                   & \sqrt{y-1}+2 \geq 2 \Leftrightarrow\\                   & \sqrt{y-1}\geq 0.                 \end{align*}

    που ισχύει για κάθε y\geq 1. άρα η f^{^{-1}} είναι πλήρως ορισμένη με

        \[f^{^{-1}}(x)=\sqrt{x-1}+2,\quad \kappa\alpha\iota \quad  A_{f^{-1}}=[1,+\infty).\]

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *