ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1
Αν η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} είναι και 1-1 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \Big(f \circ f\Big)(x+2)=f(3x-4), να δειχθεί ότι

    \[f(x)=3x-10.\]

Λύση
Έχουμε

    \begin{align*} &\Big(f \circ f\Big)(x+2)=f(3x-4)\Rightarrow\\ &f \Big( f(x+2)\Big)=f(3x-4)\overset{1-1}{\Rightarrow}\\ &f(x+2)=3x-4 \end{align*}

Θέτουμε x+2 =\omega \Rightarrow x= \omega -2. οπότε:

    \begin{align*} &f(\omega)=3(\omega -2)-4\Rightarrow\\ &f(\omega)=3\omega -6-4 \Rightarrow\\ &f(\omega)=3\omega -10.  \end{align*}

Τελικά ο τύπος της f είναι f(x)=3x-10.
Παράδειγμα.2
Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^{*} για την οποία ισχύει (f\circ f)(x)=(x-2)f(x) για κάθε x\in \mathbb{R}.

i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

ii) Να βρείτε την τιμή f(3).

iii) Να λύσετε την εξίσωση

    \[f\bigg(x+1-f\big(|x-1|\big)\bigg)-f(x-2)=0.\]

Λύση

i) Έστω x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} με f(x_1)=f(x_2). Τότε ισχύει:

    \begin{align*} 			    &f(x_{1}) =f(x_{2}) \Rightarrow\\\\	                              &f(f(x_1))=f(f(x_2)) \Rightarrow  \\\\                             &\Big(f\circ f\Big)(x_{1})=\Big(f\circ f\Big)(x_{2})\Rightarrow  \\\\                            & (x_1-2)f(x_1)=(x_2-2)f(x_2). \quad (1) 			  \end{align*}

Όμως f(x_1),f(x_2) \neq 0 αφού, f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^{*}, έχει σύνολο αφίξεως το \mathbb{R}^{*} άρα:

    \begin{align*}                                   (1)\Rightarrow & (x_1-2)f(x_1)=(x_2-2)f(x_2)\Rightarrow\\ 				  &  x_1-2=x_2-2 \Rightarrow \\                                   & x_1=x_2 			  \end{align*}

Άρα η συνάρτηση f είναι 1-1.
ii) Θέτουμε x=3 στη σχέση \big(f\circ f\big)(x)=(x-2)f(x) και προκύπτει:

    \begin{align*} &\big(f\circ f\big)(3)=(3-2)f(3)\Rightarrow\\\\ &f\big( f(3)\big)= 1\cdot f(3) \Rightarrow\\\\ &f\big( f(3)\big)=  f(3) \stackrel{1-1}{ \Rightarrow}\\\\ &f(3)= 3. \end{align*}

iii)Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

    \begin{align*} 			    &f\bigg(x+1-f\big(|x-1|\big)\bigg)-f(x-2)=0 \Leftrightarrow \\\\ 			    &f\bigg(x+1-f\big(|x-1|\big)\bigg)=f(x-2) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow} \\\\ 			    &x+1-f\big(|x-1|\big)=x-2 \Leftrightarrow \\\\                             &-f\big(|x-1|\big)= -x-1 +x-2\Leftrightarrow \\\\                             &-f\big(|x-1|\big)= -3\Leftrightarrow \\\\                             &f\big(|x-1|\big)=3 \overset{f(3)=3}{\Leftrightarrow}\\\\ 			    &f\big(|x-1|\big)=f(3) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow} \\\\                             &|x-1|=3 \Leftrightarrow\\\\ 			    &x-1=\pm 3 \Leftrightarrow\\\\                             & x -1= 3 \quad\text{ή} \quad x-1 =-3 \Leftrightarrow\\\\                             & x =4 \quad\text{ή} \quad x =-2. 		    \end{align*}

Παράδειγμα.3 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 1998
Αν για την συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ισχύει η σχέση:

    \begin{displaymath}      f(f(x)) + f^{3}(x) = 2x+3, \quad x \in \mathbb{R}    \end{displaymath}

i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
ii) Να λύσετε την εξίσωση f(2x^{3}+x) = f(4-x), \quad x \in \mathbb{R}
Λύση
i) Έστω x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} με f(x_{1}) = f(x_{2}).
Τότε f\Big(f(x_{1})\Big) =f\Big(f(x_{2})\Big)
και f^{3}(x_{1}) = f^{3}(x_{2})
με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

    \begin{align*} 					     &  f\Big(f(x_{1})\Big)+f^{3}(x_{1})  =f\Big(f(x_{2})\Big) + f^{3}(x_{2})   \Leftrightarrow \\ 					    % & (f \circ f )(x_{1}) +f^{3}(x_{1})  =(f \circ f )(x_{2}) +f^{2}(x_{1}) \Leftrightarrow \\                                              &2x_{1}+ 3 = 2x_{2}+ 3 \Leftrightarrow\\                                              &2x_{1}= 2x_{2} \Leftrightarrow \\                                             & x_{1} =x_{2} 					     \end{align*}

Άρα η f είναι 1-1.

ii) Επειδή η f είναι 1-1 θα έχουμε:

    \begin{align*}  &f(2x^{3} +x) = f(4-x) \overset{1-1}{\Leftrightarrow}\\ & 2x^{3} +x =4 -x  \Leftrightarrow \\ &2x^{3}+2x -4  = 0 \Leftrightarrow \\ &x^{3} + x -2 = 0    \Leftrightarrow \\ &x^{3} + x -1 -1 = 0 \Leftrightarrow \\ &(x^{3}-1)+ (x-1) = 0   \Leftrightarrow \\ &(x-1)(x^{2}+x+1) +(x-1)= 0 \Leftrightarrow \\ &(x-1)(x^{2}+x+2) = 0  \Leftrightarrow \\\\ & \left\{     \begin{tabular}{ll} 		$x-1= 0$ \\\\ 		$x^{2}+x+2= 0$  	\end{tabular} 	\right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{     \begin{tabular}{ll} 		$x=1.$ \\\\ 		$x^{2}+x+2= 0$  	\end{tabular} 	\right. 		\end{align*}

απο την οποία έχουμε μόνο x=1, αφου το τριώνυμο x^{2}+x+2= 0 έχει αρνητική διακρίνουσα \Delta =-7 και δεν έχει λύσεις.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Λουκόπουλος εκδόσεις Εν Δυνάμει.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *