ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.

Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με $f(x)$ , οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή $f(x)=0$

Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι 1-1.

Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα $x_{0}$ της εξίσωσης $f(x)=0$

Η εξίσωση γίνεται

$\begin{align*} &f(x)=0 \Leftrightarrow\\ &f(x)=f(x_{0}) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow} \\ &x=x_{0} \end{align*}$

Στην περίπτωση η παράσταση στο πρώτο μέλος δεν οριζει μια προφανή συνάρτηση 1-1

Γράφουμε την εξίσωση με κατάλληλες μετακινήσεις όρων απο το ένα μέλος στο άλλο ωστε να εμφανίζεται μια ομοιότητα και στα δύο μέλη.

Θεωρόυμε μια γενικότερη συνάρτηση $f$ που εκφράζει τη δομή των μελών, ώστε η εξίσωση να παίρνει τη μορφή

$f\big(g(x)\big) =f\big(h(x)\big).$

Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι 1-1 οπότε η προηγούμενη εξίσωση, ισοδύναμα καταλήγει στην απλούστερη εξίσωση:

$g(x)=h(x).$

Παράδειγμα.1
Να λυθεί η εξίσωση $e^x=1-x^7.$
Λύση

Έχουμε $e^x=1-x^7\Leftrightarrow e^{x}+x^{7}-1 =0.$
Θεωρούμε την συνάρτηση:

$f(x)= e^{x}+x^{7}-1, \quad x\in A_{f}=\mathbb{R}.$

Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι 1-1.
Έστω $x_{1},x_{2}\in A_{f}$ με $x_{1}\neq x_{2}$ τότε

$\begin{align*} x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow e^{x_{1}}\neq e^{x_{2}}. \quad (1) \end{align*}$

Επίσης

$\begin{align*} x_{1}&\neq x_{2}\Rightarrow \\ x_{1}^{7}&\neq x_{2}^{7}\Rightarrow\\ x_{1}^{7}-1 & \neq x_{2}^{7}-1. \quad (2) \end{align*}$

Προσθέτουμε τις (1) και (2) και έχουμε:

$\left\{ \begin{tabular}{ll} $e^{x_{1}}\neq e^{x_{2}}$ \\ $x_{1}^{7}-1\neq x_{2}^{7}-1$ \end{tabular} \right.\overset{+}{\Rightarrow}$

$e^{x_{1}}+x_{1}^{7}-1\neq e^{x_{2}}+x_{2}^{7}-1\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}).$
Άρα για την συνάρτηση $f$ ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του ορισμού της 1-1 συνάρτησης
δηλ.η $f:A \to \mathbb{R}$ λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε $x_{1}, x_{2} \in A$ ισχύει η συνεπαγωγή:

$x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}).$

άρα θα ισχύει και

$f(x_{1}) = f(x_{2})\Rightarrow x_{1}= x_{2}.$

οπότε έχουμε

$\begin{align*} &e^x=1-x^7\Leftrightarrow\\ &e^{x}+x^{7}-1 =0 \Leftrightarrow\\ &f(x) =0 \end{align*}$

Παρατηρούμε ότι έχουμε μια προφανή ρίζα την $x=0$ αφού:
$f(0)=e^0-1-x^7=1-1-0 = 0$
άρα

$\begin{align*} &f(x) =f(0)\overset{1-1}{\Leftrightarrow}\\ &x=0. \end{align*}$

Β.ΤΡΟΠΟΣ.
Η συγκεκριμένη εξίσωση μπορεί να λυθεί και με τη χρήση της μονοτονίας συνάρτησης.
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: $e^x-1+x^7=0$
Θέτουμε: $f(x)=e^x-1+x^7$ με $A_{f}=\mathbb{R}$
Οπότε η εξίσωση γίνεται: $f(x)=0$
Θα μελετήσουμε την $f$ ως προς την μονοτονία.
Έστω $x_{1}, x_{2} \in A_{f}=\mathbb{R}$ με $x_{1}< x_{2}.$
Έχουμε:

$x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow e^{x_{1}}< e^{x_{2}}$
και

$x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^7< x_{2}^7$
Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

$e^{x_{1}}-1+x_{1}^7<e^{x_{2}}-1+x_{2}^7 \Leftrightarrow\\ f(x_{1})< f(x_{2})$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως μονότονη ως γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και 1-1.
Παρατηρούμε ότι έχουμε μια προφανή ρίζα την $x=0$ αφού:
$f(0)=e^0-1-x^7 =1-1-0 = 0$
Έτσι η εξίσωση $f(x)=0$ γίνεται:
$f(x)=0 \Leftrightarrow f(x)=f(0) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow} x=0$

Παράδειγμα.2
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x+\ln x.$

i)Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι $1-1.$
ii) Να λύσετε την εξίσωση $\ln\dfrac{\sqrt{x}+1}{x^2+1}=x^2-\sqrt{x}$

Λύση

i) Η συνάρτηση $f(x)=x+\ln x$ ορίζεται όταν $x>0.$
Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο $A_{f}=(0, +\infty)$
Θα μελετήσουμε την $f$ ως προς την μονοτονία.
Έστω $x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(0, +\infty)$ με $x_{1}< x_{2}$ . Έχουμε:
$x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow \ln x_{1}< \ln x_{2}$
και
$x_{1}< x_{2}$

Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

$x_{1}+\ln x_{1}< x_{2}+ \ln x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2})$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και $1-1.$
ii) Η εξίσωση γίνεται:

$\begin{align*} &\ln\dfrac{\sqrt{x}+1}{x^2+1}=x^2-\sqrt{x} \Leftrightarrow \\\\ &\ln(\sqrt{x}+1)-\ln(x^2+1)=x^2-\sqrt{x}\Leftrightarrow \\\\ & \sqrt{x}+\ln(\sqrt{x}+1)=x^2+\ln(x^2+1)\Leftrightarrow \\\\ &\sqrt{x}+1+\ln(\sqrt{x}+1)=x^2+1+\ln(x^2+1)\Leftrightarrow\\\\ &f(\sqrt{x}+1)=f(x^2+1) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow}\\\\ &\sqrt{x}+1=x^2+1 \Leftrightarrow \sqrt{x}=x^2\Leftrightarrow x=x^4 \Leftrightarrow\\\\ &x^4-x=0 \Leftrightarrow x(x^3-1)=0 \Leftrightarrow \\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $ x=0$ \\ $x^3-1=0$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \end{align*}$