ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)=0
  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα x_{0} της εξίσωσης f(x)=0
  • Η εξίσωση γίνεται

        \begin{align*} 		&f(x)=0 \Leftrightarrow\\ 		&f(x)=f(x_{0}) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow} \\ 		&x=x_{0} 	\end{align*}

  • Στην περίπτωση η παράσταση στο πρώτο μέλος δεν οριζει μια προφανή συνάρτηση 1-1

  • Γράφουμε την εξίσωση με κατάλληλες μετακινήσεις όρων απο το ένα μέλος στο άλλο ωστε να εμφανίζεται μια ομοιότητα και στα δύο μέλη.
  • Θεωρόυμε μια γενικότερη συνάρτηση f που εκφράζει τη δομή των μελών, ώστε η εξίσωση να παίρνει τη μορφή

        \[f\big(g(x)\big) =f\big(h(x)\big).\]

  • Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 οπότε η προηγούμενη εξίσωση, ισοδύναμα καταλήγει στην απλούστερη εξίσωση:

        \[g(x)=h(x).\]

    Παράδειγμα.1
    Να λυθεί η εξίσωση e^x=1-x^7.
    Λύση

    Έχουμε e^x=1-x^7\Leftrightarrow e^{x}+x^{7}-1 =0.
    Θεωρούμε την συνάρτηση:

        \[f(x)= e^{x}+x^{7}-1, \quad x\in A_{f}=\mathbb{R}.\]

    Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
    Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f} με x_{1}\neq x_{2} τότε

        \begin{align*} x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow e^{x_{1}}\neq e^{x_{2}}. \quad (1) \end{align*}

    Επίσης

        \begin{align*} x_{1}&\neq  x_{2}\Rightarrow \\ x_{1}^{7}&\neq  x_{2}^{7}\Rightarrow\\                 x_{1}^{7}-1 & \neq  x_{2}^{7}-1. \quad (2) \end{align*}

    Προσθέτουμε τις (1) και (2) και έχουμε:

        \[ \left\{     \begin{tabular}{ll} 		$e^{x_{1}}\neq  e^{x_{2}}$ \\ 		$x_{1}^{7}-1\neq   x_{2}^{7}-1$ 	\end{tabular} 	\right.\overset{+}{\Rightarrow}\]

    e^{x_{1}}+x_{1}^{7}-1\neq  e^{x_{2}}+x_{2}^{7}-1\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}).
    Άρα για την συνάρτηση f ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του ορισμού της 1-1 συνάρτησης
    δηλ.η f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}).\]

    άρα θα ισχύει και

        \[f(x_{1}) = f(x_{2})\Rightarrow x_{1}= x_{2}.\]

    οπότε έχουμε

        \begin{align*} &e^x=1-x^7\Leftrightarrow\\ &e^{x}+x^{7}-1 =0 \Leftrightarrow\\ &f(x) =0 \end{align*}

    Παρατηρούμε ότι έχουμε μια προφανή ρίζα την x=0 αφού:
    f(0)=e^0-1-x^7=1-1-0 = 0
    άρα

        \begin{align*} &f(x) =f(0)\overset{1-1}{\Leftrightarrow}\\ &x=0. \end{align*}

    Β.ΤΡΟΠΟΣ.
    Η συγκεκριμένη εξίσωση μπορεί να λυθεί και με τη χρήση της μονοτονίας συνάρτησης.
    Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: e^x-1+x^7=0
    Θέτουμε: f(x)=e^x-1+x^7 με A_{f}=\mathbb{R}
    Οπότε η εξίσωση γίνεται: f(x)=0
    Θα μελετήσουμε την f ως προς την μονοτονία.
    Έστω x_{1}, x_{2} \in A_{f}=\mathbb{R} με x_{1}< x_{2}.
    Έχουμε:

    x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow 		e^{x_{1}}< e^{x_{2}}
    και

    x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow 		x_{1}^7< x_{2}^7
    Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

        \[e^{x_{1}}-1+x_{1}^7<e^{x_{2}}-1+x_{2}^7 \Leftrightarrow\\ 		f(x_{1})< f(x_{2})\]

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη ως γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και 1-1.
    Παρατηρούμε ότι έχουμε μια προφανή ρίζα την x=0 αφού:
    f(0)=e^0-1-x^7 		=1-1-0 = 0
    Έτσι η εξίσωση f(x)=0 γίνεται:
    f(x)=0 \Leftrightarrow 		f(x)=f(0) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow}  		x=0

    Παράδειγμα.2
    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x+\ln x.

    i)Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
    ii) Να λύσετε την εξίσωση \ln\dfrac{\sqrt{x}+1}{x^2+1}=x^2-\sqrt{x}

    Λύση

    i) Η συνάρτηση f(x)=x+\ln x ορίζεται όταν x>0.
    Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=(0, +\infty)
    Θα μελετήσουμε την f ως προς την μονοτονία.
    Έστω x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(0, +\infty) με x_{1}< x_{2}. Έχουμε:
    x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow \ln x_{1}< \ln x_{2}
    και
    x_{1}< x_{2}

    Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

        \[x_{1}+\ln x_{1}< x_{2}+ \ln x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2})\]

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και 1-1.
    ii) Η εξίσωση γίνεται:

        \begin{align*} 				    &\ln\dfrac{\sqrt{x}+1}{x^2+1}=x^2-\sqrt{x} \Leftrightarrow \\\\ 				    &\ln(\sqrt{x}+1)-\ln(x^2+1)=x^2-\sqrt{x}\Leftrightarrow \\\\					 				    & \sqrt{x}+\ln(\sqrt{x}+1)=x^2+\ln(x^2+1)\Leftrightarrow \\\\ 				    &\sqrt{x}+1+\ln(\sqrt{x}+1)=x^2+1+\ln(x^2+1)\Leftrightarrow\\\\ 				    &f(\sqrt{x}+1)=f(x^2+1) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow}\\\\ 				    &\sqrt{x}+1=x^2+1 \Leftrightarrow \sqrt{x}=x^2\Leftrightarrow x=x^4 \Leftrightarrow\\\\ 				    &x^4-x=0 \Leftrightarrow x(x^3-1)=0 \Leftrightarrow \\\\ & \left\{     \begin{tabular}{ll} 		$ x=0$ \\ 		$x^3-1=0$ 	\end{tabular} 	\right. \Leftrightarrow  			    \end{align*}

    x=0 ή x=1.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *