Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:





Στην περίπτωση η παράσταση στο πρώτο μέλος δεν οριζει μια προφανή συνάρτηση 1-1

Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι 1-1 οπότε η προηγούμενη εξίσωση, ισοδύναμα καταλήγει στην απλούστερη εξίσωση:
Παράδειγμα.1
Να λυθεί η εξίσωση
Λύση
Έχουμε
Θεωρούμε την συνάρτηση:
Αποδεικνύουμε ότι η είναι 1-1.
Έστω με
τότε
Επίσης
Προσθέτουμε τις (1) και (2) και έχουμε:
Άρα για την συνάρτηση ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του ορισμού της 1-1 συνάρτησης
δηλ.η λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε
ισχύει η συνεπαγωγή:
άρα θα ισχύει και
οπότε έχουμε
Παρατηρούμε ότι έχουμε μια προφανή ρίζα την αφού:
άρα
Β.ΤΡΟΠΟΣ.
Η συγκεκριμένη εξίσωση μπορεί να λυθεί και με τη χρήση της μονοτονίας συνάρτησης.
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
Θέτουμε: με
Οπότε η εξίσωση γίνεται:
Θα μελετήσουμε την ως προς την μονοτονία.
Έστω με
Έχουμε:
και
Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη ως γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και 1-1.
Παρατηρούμε ότι έχουμε μια προφανή ρίζα την αφού:
Έτσι η εξίσωση γίνεται:
Παράδειγμα.2
Δίνεται η συνάρτηση
i)Να αποδείξετε ότι η είναι
ii) Να λύσετε την εξίσωση
Λύση
i) Η συνάρτηση ορίζεται όταν
Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο
Θα μελετήσουμε την ως προς την μονοτονία.
Έστω με
. Έχουμε:
και
Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και
ii) Η εξίσωση γίνεται:
ή
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .









