ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email
  • Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη τότε η συνάρτηση f είναι και 1-1. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
  • Αν για μία συνάρτηση f διαπιστώσουμε ότι είναι άρτια ή περιοδική ή ότι για δύο διαφορετικές τιμές του x π.χ x_{1},x_{2} είναι f(x_{1})=f(x_{2}) τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 αφου θα έχουμε x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}).

  • Παράδειγμα.1
    Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=e^{1-x}-x^3 είναι 1-1.
    Λύση.
    Η συνάρτηση ορίζεται για κάθε x \in\mathbb{R}.
    Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο: A_{f}=\mathbb{R}.
    Έστω x_{1}, x_{2} \in A_{f}=\mathbb{R}, με x_{1}< x_{2},
    Έχουμε:

        \begin{align*} 		&x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow -x_{1}> -x_{2} \Leftrightarrow\\\\ 		&1-x_{1}> 1-x_{2} \Leftrightarrow \\\\                 &e^{1-x_{1}}>e^{1-x_{2}}. 	\end{align*}

    Επίσης
    x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^3< x_{2}^3 \Leftrightarrow -x_{1}^3>- x_{2}^3
    Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

        \[e^{1-x_{1}}-x_{1}^3>e^{1-x_{2}}-x_{2}^3 \Leftrightarrow f(x_{1})> f(x_{2})\]

    Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα και ως γνησίως μονότονη είναι και 1-1.
    Παράδειγμα.2
    Να αποδείξετε ότι δεν είναι 1-1 οι συναρτήσεις:

    i) f(x)= x^{2}-x+1.

    ii)f(x) =x\sqrt{x}-x.

    iii)f(x) =\sigma\upsilon\nu x +x\cdot\eta\mu x.

    Λύση

    i) Παρατηρούμε ότι f(0) =f(1)=1 άρα η f όχι 1-1.

    ii) Παρατηρούμε ότι f(0) =f(1)=0 άρα η f όχι 1-1.

    iii) Η f(x) =\sigma\upsilon\nu x +x\eta\mu x. έχει πεδίο ορισμού A_{f}=\mathbb{R.}
    οπότε για κάθε x\in A_{f} και -x \in A_{f}.
    επίσης

        \begin{align*} f(-x)=& \sigma\upsilon\nu(- x) +(-x)\cdot\eta\mu (-x)\\      =& \sigma\upsilon\nu x  +(-x)\cdot\big(-\eta\mu x\big)\\      =& \sigma\upsilon\nu x +x\cdot\eta\mu x\\      =& f(x). \end{align*}

    Άρα η f είναι άρτια επομένως δεν είναι 1-1.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *