ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Για την απόδειξη ανισοτητων με τη μέθοδο της μονοτονίας ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • Διαχωρίζουμε τους όρους στα δύο μέλη έτσι ώστε σε κάθε μέλος να υπάρχει η ίδια παράμετρος.
  • Παρατηρούμε αν ορίζεται η ίδια συνάρτηση και στα δύο μέλη και η μόνη διαφορά τους είναι η διαφορετική παράμετρος.
  • Θεωρουμε την παραπάνω συνάρτηση ως προς f(x) και την μελετάμε ως προς τη μονοτονία.
  • Εφαρμόζουμε τον ορισμο της μονοτονίας για τις περιπτώσεις της γνησίως αύξουσας και γνησίως φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα.
  • Παράδειγμα.
    Αν, \,\, 0<\alpha<\beta, να αποδειχθεί η ανισότητα e^{\alpha}-e^{\beta} < \ln \dfrac{\beta}{\alpha}.
    Λύση.
    Έχουμε:

        \begin{align*}           & e^{\alpha}-e^{\beta} < \ln \dfrac{\beta}{\alpha}\Leftrightarrow\\           &  e^{\alpha}-e^{\beta} < \ln {\beta}-\ln{\alpha}\Leftrightarrow\\           &  e^{\alpha}+\ln{\alpha} < e^{\beta}+\ln {\beta}.          \end{align*}

    Παρτηρούμε ότι στο πρώτο μέλος έχουμε την τιμή της συνάρτησης f(x)=e^{x}+\ln x για x=\alpha, ενώ στο δεύτερο μέλος της ίδιας συνάρτησης για x=\beta
    Η f(x)=e^{x}+\ln x έχει πεδίο ορισμού το A_{f}=(0,+\infty).
    οπότε για x_{1},x_{2}\in A_{f}=(0,+\infty)
    με

        \[x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow e^{x_{1}}<e^{x_{2}}.\]

    επίσης

        \[x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow \ln{x_{1}}<\ln{x_{2}}.\]

    Με πρόσθεση κατα μέλη των παραπάνω έχουμε

        \[ \left\{                \begin{tabular}{ll} 		$e^{x_{1}}<e^{x_{2}}$ \\\\ 		\ln x_{1}<\ln x_{2}                 	\end{tabular} 	\right.\overset{+}{\Leftrightarrow}\]

        \begin{align*}                    &e^{x_{1}}+ \ln x_{1} < e^{x_{2}} + \ln x_{2}\Leftrightarrow\\                    &f(x_{1})<f(x_{2}).         \end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα,
    και έχουμε:

    Rendered by QuickLaTeX.com

    που ισχύει απο υπόθεση.

    Βιβλιογραφία: Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *