ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email
  • Αν f(x) \leq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό μέγιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[max f = f(x_{0})\]

  • Αν f(x) \geq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό ελάχιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[min f = f(x_{0})\]

  • Παράδειγμα.1
    Δίνεται η συνάρτηση

        \[f(x)=\sqrt{9-\sqrt{x}}\]

    Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη της τιμή.
    Λύση
    Η συνάρτηση f(x)=\sqrt{9-\sqrt{x}} ορίζεται όταν:

        \[x\geq 0 \quad \& \quad 9-\sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow 		\sqrt{x} \leq 9 \Leftrightarrow x \leq 81\]

    Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο

        \[A_{f}=[0,81]\]

    Για κάθε x\in A_{f} ισχύει ότι: \sqrt{9-\sqrt{x}} \geq 0
    Όμως έχουμε:
    f(81)=\sqrt{9-\sqrt{81}}=\sqrt{9-9}=0
    Δηλαδή

        \begin{align*}                 &\sqrt{9-\sqrt{x}} \geq 0 \Leftrightarrow \\                 &\sqrt{9-\sqrt{x}} \geq f(81) \Leftrightarrow \\                 &f(x) \geq f(81). \quad \forall x\in A_{f}           \end{align*}

    Από την παραπάνω ανισότητα προκύπτει ότι η f παρουσιάζει στο x=81 (ολικό) ελάχιστο το f(81)=0

        \[min f = 0.\]

    Επιπλέον έχουμε
    \forall x\in A_{f} ισχύει ότι:

        \[\sqrt{x}\geq 0 \Leftrightarrow -\sqrt{x}\geq 0\Leftrightarrow 		9-\sqrt{x}\leq 9 \Leftrightarrow \sqrt{9-\sqrt{x}} \leq 3\]

    Όμως έχουμε:
    f(0)=\sqrt{9-\sqrt{0}}	=\sqrt{9}=3
    Δηλαδή έχουμε:

        \begin{align*} 		&\sqrt{9-\sqrt{x}} \leq 3 \Leftrightarrow \\ 		&\sqrt{9-\sqrt{x}} \leq f(0) \Leftrightarrow \\                 &f(x) \leq f(0).\quad \forall \, \, x\in A_{f}  	\end{align*}

    Απο την παραπάνω ανισότητα προκύπτει ότι η f παρουσιάζει στο x=0 (ολικό) μέγιστο το f(0)=3

        \[max f = 3.\]

    και επειδή

        \begin{align*}                             & min f \leq f(x)\leq max f \Leftrightarrow \\                             & 0\leq f(x)\leq 3                          \end{align*}

    Β.ΤΡΟΠΟΣ

    Η f(x)=\sqrt{9-\sqrt{x}}, έχει πεδίο ορισμού A_{f}=[0,81]
    Θα υπολογίσουμε το σύνολο τιμων της f, έχουμε:

        \begin{align*}                              &f(x) =y \Leftrightarrow\\                              &\sqrt{9-\sqrt{x}}= y\Leftrightarrow \quad \mu\epsilon\quad y\geq 0\\                              & 9-\sqrt{x}=y^{2}\Leftrightarrow\\                              &9-y^{2} =\sqrt{x} \Leftrightarrow          \quad \mu\epsilon\quad 9-y^{2}\geq 0 \\                              &\big(9-y^{2}\big)^{2}=x.                      \end{align*}

    Για να βρουμε το σύνολο που ανήκουν τα y, δηλαδή το f(A), πρέπει να να βρούμε που συναληθεύουν περιορισμοί που προέκυψαν
    δηλαδή

        \begin{align*}                           \left\{                              \begin{tabular}{ll} 		              $y\geq 0$ \\\\ 		                $ 9-y^{2}\geq 0 $\\\\                              $ x\in A_{f}.$  	                    \end{tabular} 	                 \right.                         \end{align*}

    Για τον περιορισμό 9-y^{2}\geq 0, λύνουμε την εξίσωση 9-y^{2}= 0 \Leftrightarrow y^{2}=9 \Leftrightarrow y=\pm 3
    οπότε

        \begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c} 					      $ y$ & $ -\infty $&	&     $-3$      &        &  $3$        &          & $+\infty $\\ 						    \hline 					    $ 9-y^{2}$   &  	         & -    & $ 0$          & +     & $ 0$        &    -     &	 	   \\ 						  \end{tabular} \end{align*}

    αρα 9-y^{2}\geq 0\Leftrightarrow -3\leq y\leq 3.
    Για τον περιορισμό x\in A_{f}, έχουμε

        \begin{align*}                          & x\in A_{f}\Leftrightarrow \\\\                          & x\in [0,81]\Leftrightarrow \\\\                          & 0\leq x \leq 81\Leftrightarrow \\\\                          & 0\leq\big(9-y^{2}\big)^{2} \leq 81\Leftrightarrow \\\\                          & \sqrt{0} \leq \sqrt{\big(9-y^{2}\big)^{2}} \leq \sqrt{81}\Leftrightarrow \\\\                          & 0 \leq 9-y^{2}\leq 9 \Leftrightarrow \\\\                          & -9+0 \leq-9+ 9-y^{2}\leq-9+ 9 \Leftrightarrow \\\\                          & -9 \leq -y^{2}\leq 0 \Leftrightarrow \\\\                           & 9 \geq y^{2}\geq 0 \Leftrightarrow \\\\                            & 0 \leq y^{2}\leq 9 \Leftrightarrow \\\\                            & y^{2}\leq 9 \Leftrightarrow \\\\                            &\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9} \Leftrightarrow \\\\                           &|y|\leq 3 \Leftrightarrow \\\\                           &-3 \leq y\leq 3.                          \end{align*}

    Τελικά το σύνολο τιμών προκύπτει απο την συναλήθευση των y\geq 0 και -3 \leq y\leq 3 που σημαινει ότι

        \[0\leq y\leq 3\Leftrightarrow y\in [0,3] \Leftrightarrow f(A) =[0,3]\]

    οπότε
    0\leq f(x)\leq 3 και συνεπώς min f =0 και max f =3.

    ΠΡΟΣΟΧΗ. Αν για κάθε x\in A_{f} ισχύει \alpha \leq f(x) \leq \beta δεν συμαίνει ότι το min f= \alpha και max f= \beta. Για να ισχύουν αυτά θα πρέπει επιπλέον οι εξισώσεις f(x)=\alpha και f(x)=\beta να έχουν μία τουλάχιστον λύση στο A_{f}.
    Γ.ΤΡΟΠΟΣ

    Με τη χρηση της μονοτονίας, έχουμε:
    για κάθε x_{1},x_{2}\in A_{f}=[0,81] με

        \begin{align*}              &x_{1}< x_{2}\Leftrightarrow \\              &\sqrt{x_{1}}< \sqrt{x_{2}}\Leftrightarrow\\              &-\sqrt{x_{1}}> -\sqrt{x_{2}}\Leftrightarrow\\               &9-\sqrt{x_{1}}>9-\sqrt{x_{2}}\Leftrightarrow\\               &\sqrt{9-\sqrt{x_{1}}}>\sqrt{9-\sqrt{x_{2}}}\Leftrightarrow\\               &f(x_{x})>f(x_{2}). \end{align*}

    Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σε όλο το A_{f}=[0,81] οπότε για κάθε x\in A_{f} έχουμε:

        \begin{align*}                           & x\in [0,81] \Leftrightarrow \\                           & 0\leq x \leq 81\overset{^{f:\downarrow}}{\Leftrightarrow} \\                           &f(0)\geq f(x)\geq f(81) \Leftrightarrow \\                           &f(81)\leq f(x)\geq f(0) \Leftrightarrow \\                           &0\leq f(x)\leq 3.                     \end{align*}

    Άρα min f =0 και max f =3.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    2 σχόλια στο ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

      1. Γενικά, η εύρεση των ακροτάτων με κατασκευαστικές μεθόδους και τη χρήση του ορισμού, είναι μια σύνθετη διαδικασία.
        Ένας πιό εύκολος τρόπος είναι η μελετη της μονοτονίας της συνάρτησης με τη χρήση των παραγώγων για παράδειγμα:
        http://diakopoulos.net/2016/11/30/%cf%84%ce%bf%cf%80%ce%b9%ce%ba%ce%b1-%ce%b1%ce%ba%cf%81%ce%bf%cf%84%ce%b1%cf%84%ce%b1-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%b1%ce%b3%cf%89%ce%b3%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%89%ce%bd-%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b1%cf%81/

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *