ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)\leq 0 ή f(x)\geq 0
  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα \rho της εξίσωσης f(x)=0, οπότε η ανίσωση γίνεται f(x)\leq f(\rho) ή f(x)\geq f(\rho)
  • Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της f.
  • π.χ. αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    ή

    Rendered by QuickLaTeX.com

  • Για την επίλυση ανισώσεων της μορφής f\Big(g(x)\Big) < f\Big(h(x)\Big)
    έχουμε:
    αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Και λύνουμε την ανίσωση g(x) < h(x) με κάποια γνωστή μέθοδο.
    Ενώ αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    λύνουμε την ανίσωση g(x) > h(x)

  • Απο τα παραπάνω βγάζουμε τον συμπέρασμα ότι αν η f γν.αυξουσα διατηρείται η διάταξη της ανίσωσης ενω αν η f γν.φθίνουσα η διάταξη της ανίσωσης αλλάζει.

    Παράδειγμα.1
    Να λυθεί η ανίσωση 5x^3+\ln x<\dfrac{2}{x}+3.
    Λύση
    Η ανίσωση έχει νόημα όταν x>0
    Έχουμε:
    5x^3+\ln x<\dfrac{2}{x}+3\Leftrightarrow5x^3+\ln x-\dfrac{2}{x}-3<0.

    Θέτουμε f(x)=5x^3+\ln x-\frac{2}{x}-3 με A_{f}=(0, +\infty).
    Έτσι η ανίσωση γίνεται:

        \[5x^3+\ln x-\frac{2}{x}-3<0 \Leftrightarrow f(x)<0\]

    Θα μελετήσουμε την f ως προς τη μονοτονία.
    Έστω x_{1}, x_{2} \in (0, +\infty), με x_{1}<x_{2}.
    Έχουμε:

        \[x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^3<x_{2}^3\]

    επίσης

        \[x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow \ln x_{1}<\ln x_{2}\]

    επιπλέον

        \[x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow \frac{1}{x_{1}}>\frac{1}{x_{2}} \Leftrightarrow -\frac{1}{x_{1}}<-\frac{1}{x_{2}}\]

    Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

        \[ \left\{                \begin{tabular}{ll} 		$x_{1}^3<x_{2}^3$ \\\\ 		\ln x_{1}<\ln x_{2} \\\\                $-\dfrac{1}{x_{1}}<-\dfrac{1}{x_{2}}$                	\end{tabular} 	\right.\overset{+}{\Leftrightarrow}\]

        \begin{align*}                    &x_{1}^3+ \ln x_{1}-\dfrac{1}{x_{1}}-3<x_{2}^3+ \ln x_{2}-\frac{1}{x_{2}}-3 \Leftrightarrow\\                    &f(x_{1})<f(x_{2}).         \end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
    Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει μία προφανής ρίζα την x=1 αφού:

        \begin{align*} 		f(1)&=5\cdot 1^3+\ln 1-\frac{2}{1}-3\\             	    &=5+0-2-3=0 	   \end{align*}

    Και επειδη η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη (γν.αυξουσα,) αυτή η ρίζα είναι μοναδική.
    Επομένως η ανίσωση γίνεται:

        \[f(x)<0  \Leftrightarrow f(x)<f(1)\]

    αφού

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Παράδειγμα.2

    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\dfrac{1}{x}-\sqrt{x}

    i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
    ii) Να λύσετε την ανίσωση

        \[\dfrac{1}{2x^2+3}-\dfrac{1}{x^2+2x+6} >\sqrt{2x^2+3}-\sqrt{x^2+2x+6}.\]

    Λύση
    i)Η συνάρτηση

        \[f(x)=\frac{1}{x}-\sqrt{x}\]

    ορίζεται για x>0, οπότε έχει πεδίο ορισμού το A_{f}=(0, +\infty). Έστω x_1, x_2 \in (0, +\infty) με x_1< x_2. Έχουμε:

        \begin{align*} 				&x_1< x_2  \Leftrightarrow \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2} 			\end{align*}

    επίσης

        \begin{align*} 				&x_1< x_2  \Leftrightarrow \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2} \Leftrightarrow -\sqrt{x_1}>-\sqrt{x_2} 			\end{align*}

    Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

        \[\frac{1}{x_1}-\sqrt{x_1}>\frac{1}{x_2}-\sqrt{x_2} \Leftrightarrow 				f(x_1)> f(x_2)\]

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.
    ii)Για κάθε x \in \mathbb{R} η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται:

    \dfrac{1}{2x^2+3}-\dfrac{1}{x^2+2x+6} >\sqrt{2x^2+3}-\sqrt{x^2+2x+6}  \Leftrightarrow

    \dfrac{1}{2x^2+3}-\sqrt{2x^2+3}>\dfrac{1}{x^2+2x+6} -\sqrt{x^2+2x+6} \Leftrightarrow

    f(2x^2+3)>f(x^2+2x+6).

    αφού f(x)=\dfrac{1}{x}-\sqrt{x}.
    Επιπλέον έχουμε ότι

    Rendered by QuickLaTeX.com

        \begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c} 					      $ x $ & $ -\infty $&	&     $-1$      &        &  $3$        &          & $+\infty $\\ 						    \hline 					    $ x^{2} -2x -3$   &  	         & +    & $ 0$          & -     & $ 0$        &    -     &	 	   \\ 						  \end{tabular} \end{align*}

    Τελικα
    \dfrac{1}{2x^2+3}-\dfrac{1}{x^2+2x+6} >\sqrt{2x^2+3}-\sqrt{x^2+2x+6}  \Leftrightarrow

    x^{2} -2x -3 <0 \Leftrightarrow x \in (-1,3)

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *