ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η C_{f} τέμνει τον άξονα x'x το πολύ μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα.
Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)=0
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.
  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση

        \[f(x)=0\]

    έχει το πολύ μία ρίζα. Έτσι η ρίζα που βρήκαμε προηγουμένως είναι μοναδική.

  • Παράδειγμα
    Να λυθεί η εξίσωση e^{3-x}-1=\ln(x-2).

    Λύση

    Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει x-2>0 \Leftrightarrow x>2.
    Στη συνέχεια μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο Α! μέλος και εξισώνουμε με το μηδέν δηλ.

        \[e^{3-x}-1=\ln(x-2)\Leftrightarrow e^{3-x}-1-\ln(x-2)=0.\]

    Θέτουμε

        \[f(x)=e^{3-x}-1-\ln(x-2)\]

    με x>2 οπότε η εξίσωση γίνεται: e^{3-x}-1-\ln(x-2)=0 \Leftrightarrow f(x)=0
    Παρατηρούμε ότι μια προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι η x=3, αφού:

        \begin{align*}                         f(3) &= e^{3-3} -1-\ln(3-2)\\                              &= e^0-1-\ln1\\                              &=1-1-0=0                       \end{align*}

    Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
    Έστω x_{1}, x_{2} \in (2, +\infty), με x_{1}< x_{2}. Έχουμε:

        \begin{align*}                                 &x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow -x_{1}> -x_{2} \Leftrightarrow\\                                 &3-x_{1} > 3 -x_{2} \Leftrightarrow e^{3-x_{1}}>e^{3-x_{2}}                            \end{align*}

    Επίσης

        \begin{align*}                                 &x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow x_{1}-2< x_{2}-2 \Leftrightarrow\\                                 &\ln(x_{1}-2)< \ln(x_{2}-2) \Leftrightarrow -\ln(x_{1}-2)> -\ln(x_{2}-2)                            \end{align*}

    Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

        \[ \left\{     \begin{tabular}{ll} 		e^{3-x_{1}}  >e^{3-x_{2}} \\\\ 		-\ln(x_{1}-2) > -\ln(x_{2}-2)  	\end{tabular} 	\right.\overset{+}{\Leftrightarrow}\]

        \begin{align*}    &e^{3-x_{1}}-\ln(x_{1}-2)>e^{3-x_{2}}-\ln(x_{2}-2) \Leftrightarrow\\    &e^{3-x_{1}}-1-\ln(x_{1}-2)>e^{3-x_{2}}-1-\ln(x_{2}-2) \Leftrightarrow \\    &f(x_{1})>f(x_{2}). \end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, (γνησίως φθίνουσα) οπότε, η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μια ρίζα.
    Επομένως η ρίζα x=3 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0, άρα και της αρχικής εξίσωσης.

    Από την παρακάτω γραφική παράσταση της f(x)=e^{3-x}-1-\ln(x-2) καταλαβαίνουμε ότι για να εχει η f(x) και δεύτερη ρίζα θα πρεπει η C_{f} να περάσει απο τον x'x και δεύτερη φορά πράγμα που αντιβαινει στο γεγονός οτι η f είναι γνησιως μονότονη (γν. φθίνουσα.)

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *