ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Παράδειγμα.1
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

$f(x)=5-\sqrt{6-2x}.$

Λύση
Η συνάρτηση $f(x)=5-\sqrt{6-2x}$ ορίζεται όταν:

$\begin{align*} &6-2x \geq 0 \Leftrightarrow\\ &2x \leq 6 \Leftrightarrow x \leq 3 \end{align*}$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο $A_{f}=(-\infty,3]$
Έστω $x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(-\infty,3],$ με $x_{1} < x_{2}.$ Έχουμε:

$\begin{align*} &x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \\\\ &-2x_{1} > -2x_{2} \Leftrightarrow\\\\ &6-2x_{1} > 6-2x_{2} \Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{6-2x_{1}} > \sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow\\\\ &-\sqrt{6-2x_{1}} < -\sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow \\\\ &5-\sqrt{6-2x_{1}} < 5-\sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow\\\\ &f(x_{1}) < f(x_{2}) \end{align*}$

Δηλαδή δείξαμε ότι για κάθε
$x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(-\infty,3],$ με $x_{1} < x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$
συνεπώς, η $f$ γνησίως αύξουσα στο $A_{f}=(-\infty,3].$
Παράδειγμα.2
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

$f(x)=e^x+x^3 .$

Λύση
Η συνάρτηση $f(x)=e^x+x^3$ ορίζεται για κάθε $x\in\mathbb{R}.$
Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο

$A_{f}=\mathbb{R}.$

Έστω $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R},$ με $x_{1} < x_{2}$ .
Έχουμε:

$\begin{align*} &x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^3 < x_{2}^3 \end{align*}$

επιπλέον

$\begin{align*} &x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow e^{x_{1}} < e^{x_{2}} \end{align*}$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες και προκύπτει:

$\begin{align*} &e^{x_{1}}+x_{1}^3<e^{x_{2}}+x_{2}^3 \Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) \end{align*}$

Δηλαδή δείξαμε ότι για κάθε
$x_{1}, x_{2} \in A_{f}=\mathbb{R},$ με $x_{1} < x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$
συνεπώς, η $f$ γνησίως αύξουσα στο $A_{f}=\mathbb{R}.$