ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

    \[f(x)=5-\sqrt{6-2x}.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x)=5-\sqrt{6-2x} ορίζεται όταν:

    \begin{align*}	 				&6-2x \geq 0 \Leftrightarrow\\ 				&2x \leq 6 \Leftrightarrow x \leq 3 			\end{align*}

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=(-\infty,3]
Έστω x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(-\infty,3], με x_{1} < x_{2}. Έχουμε:

    \begin{align*}	 				&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \\\\ 				&-2x_{1} > -2x_{2} \Leftrightarrow\\\\ 				&6-2x_{1} > 6-2x_{2} \Leftrightarrow\\\\  				&\sqrt{6-2x_{1}} > \sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow\\\\ 				&-\sqrt{6-2x_{1}} < -\sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow \\\\ 				&5-\sqrt{6-2x_{1}} < 5-\sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow\\\\ 				&f(x_{1}) < f(x_{2}) 			\end{align*}

Δηλαδή δείξαμε ότι για κάθε
x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(-\infty,3], με x_{1} < x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})
συνεπώς, η f γνησίως αύξουσα στο A_{f}=(-\infty,3].
Παράδειγμα.2
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

    \[f(x)=e^x+x^3 .\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x)=e^x+x^3 ορίζεται για κάθε x\in\mathbb{R}.
Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

    \[A_{f}=\mathbb{R}.\]

Έστω x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, με x_{1} < x_{2}.
Έχουμε:

    \begin{align*}	 				&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^3 < x_{2}^3 			\end{align*}

επιπλέον

    \begin{align*}	 				&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow e^{x_{1}} < e^{x_{2}} 			\end{align*}

Προσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες και προκύπτει:

    \begin{align*} 				&e^{x_{1}}+x_{1}^3<e^{x_{2}}+x_{2}^3 \Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) 			\end{align*}

Δηλαδή δείξαμε ότι για κάθε
x_{1}, x_{2} \in A_{f}=\mathbb{R}, με x_{1} < x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})
συνεπώς, η f γνησίως αύξουσα στο A_{f}=\mathbb{R}.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *