ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{     \begin{tabular}{ll} 		$\sqrt{x}-\dfrac{1}{x},  \quad  x > 0$ \\\\ 		$1-2x^3+e^{-x}, \quad x \leq 0$  	\end{tabular} 	\right. \]

Λύση
Θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία ξεχωριστά κάθε κλάδο της συνάρτησης

    \[ f(x)=\left\{     \begin{tabular}{ll} 		$\sqrt{x}-\dfrac{1}{x},  \quad x > 0$ \\\\ 		$1-2x^3+e^{-x}, \quad x \leq 0$  	\end{tabular} 	\right. \]

Στο (0, +\infty) είναι

    \[f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}\]

Έστω x_{1}, x_{2}\in(0, +\infty) με x_{1} < x_{2}.
Έχουμε:

    \begin{align*}	 		&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \sqrt{x_{1}} <\sqrt{x_{2}} 	\end{align*}

επίσης

    \begin{align*}	 		&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \frac{1}{x_{1}}>\frac{1}{x_{2}} \Leftrightarrow -\frac{1}{x_{1}}<-\frac{1}{x_{2}} 	\end{align*}

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

    \begin{align*}	 		&\sqrt{x_{1}}-\frac{1}{x_{1}} < \sqrt{x_{2}}-\frac{1}{x_{2}} \Leftrightarrow\\ 		&f(x_{1})<f(x_{2}) 	\end{align*}

Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,+\infty).
Στο (-\infty,0] είναι f(x)=1-2x^3+e^{-x}.
Έστω x_{1}, x_{2}\in(-\infty,0] με x_{1} < x_{2}.
Έχουμε:

    \begin{align*}	 		&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^3 < x_{2}^3 \Leftrightarrow -2x_{1}^3 > -2x_{2}^3  	\end{align*}

επίσης

    \begin{align*}	 		&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow -x_{1} >- x_{2} \Leftrightarrow e^{-x_{1}} >e^{- x_{2}} 	\end{align*}

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

    \begin{align*}	 		&-2x_{1}^3+e^{-x_{1}}>-2x_{2}^3+e^{-x_{2}} \Leftrightarrow \\                 &1-2x_{1}^3+e^{-x_{1}}>1-2x_{2}^3+e^{-x_{2}} \Leftrightarrow\\ 		&f(x_{1})>f(x_{2}) 	\end{align*}

Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-\infty,0].
Τελικά απο τα παραπανω προκύπτει ότι η δοθείσα συναρτηση δεν ειναι γνησίως μονότονη στο A_{f}=\mathbb{R},
αλλά είναι γνησίως μονότονη μόνο κατα διαστήματα.

Παράδειγμα.2
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 					  $x^2+1,  \quad x \geq 0$ \\\\ 					  $x+2, \quad x < 0$  				  \end{tabular} 				  \right. \]

Λύση
Θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία ξεχωριστά κάθε κλάδο της συνάρτησης

    \[ f(x)=\left\{ 	\begin{tabular}{ll} 		$x^2+1,  \quad x \geq 0$ \\\\ 		$x+2, \quad x < 0$  	\end{tabular} 	\right. \]

Στο [0, +\infty) είναι f(x)=x^2+1.
Έστω x_{1}, x_{2} \in [0, +\infty) με x_{1} < x_{2}.
Έχουμε:

    \begin{align*} 		&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^2 < x_{2}^2 \Leftrightarrow \\                 &x_{1}^2 +1< x_{2}^2+1 \Leftrightarrow\\ 		&f(x_{1}) < f(x_{2}) 	\end{align*}

Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, +\infty).
Στο (-\infty, 0) είναι f(x)=x+2
Έστω x_{1}, x_{2} \in (-\infty, 0) με x_{1} < x_{2}.
Έχουμε:

    \begin{align*} 		&x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow\\                 & x_{1}+2 < x_{2}+2\Leftrightarrow\\ 		&f(x_{1}) < f(x_{2}) 	\end{align*}

Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-\infty, 0).
ΠΡΟΣΟΧΗ Επειδή η συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτόνίας στα διαστήματα (-\infty, 0) και [0, +\infty) Δεν μπορούμε να βγάλουμε το ίδιο συμπέρασμα και για την μονοτονια της f σε όλο το πεδίο ορισμού της A_{f}=\mathbb{R}=(-\infty, 0)\cup[0, +\infty)
Πράγματι:
Έστω x_2 \in [0, +\infty) και x_1 \in (-\infty,0).
Τότε x_{1} < x_{2} και f(x_2)=x_{2}^2+1 και f(x_{1})=x_{1}+2.
Παρατηρούμε ότι:

    \begin{align*} 		&x_{1} <0 \Leftrightarrow x_{1}+2 < 2\Leftrightarrow f(x_{1}) < 2 	\end{align*}

Επιπλέον

    \begin{align*} 		&x_{2} \geq 0 \Leftrightarrow x_{2}^2 \geq 0 \Leftrightarrow x_{2}^2 +1 \geq 1 \Leftrightarrow f(x_{2}) \geq 1 	\end{align*}

Τελικά απο τα παραπανω προκύπτει ότι η δοθείσα συναρτηση δεν ειναι γνησίως μονότονη στο A_{f}=\mathbb{R},
αλλά είναι γνησίως μονότονη μόνο κατα διαστήματα, το οποίο είναι ολοφάνερο και απο την γραφική παράσταση της συνάρτησης C_{f}.

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Ένα σχόλιο στο ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *